守恒量

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为守恒量（conserved quantity），又称为运动常数。由于很多物理定律会表达某种守恒行为，对应的守恒量时常会出现于真实系统。例如，假设在某系统内涉及的作用力是保守力，则此系统的能量是守恒量。假设涉及的作用力是有心力，则此系统的角动量是守恒量。

动量

根据动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力，其总矢量和为零，则这粒子的动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀速运动或著静止不变。以方程表达，假设粒子感受到的合外力为零：

$\mathbf {F} =0$ 。

根据牛顿第二定律，合外力与动量 $\mathbf {p}$ 的关系式为

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

所以，动量是一个常数，是一个守恒量。

角动量

根据角动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力矩，其其总矢量和为零，则这粒子的角动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀角运动或直线运动。以方程表达，假设粒子感受到的合外力矩 ${\boldsymbol {\tau }}$ 为零：

${\boldsymbol {\tau }}=0$ 。

合外力矩与角动量 ${\boldsymbol {\ell }}$ 的关系式为

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}$ 。

所以，角动量是一个常数，是一个守恒量。

能量

在经典力学里，粒子的能量定义为动能与势能的代数和。根据能量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力都是保守力，则这粒子的能量保持不变，是一个守恒量。以方程表达，能量 $E$ 为动能 $T$ 与势能 $V$ 的代数和

$E=T+V$ 。

粒子的动能与运动速度 $\mathbf {v}$ 的关系为

$T=mv^{2}/2$ ；

其中，$m$ 是粒子的质量。

而对于保守系统，势能与净保守力 $\mathbf {F}$ 的关系为

$\mathbf {F} =-\nabla V$ ；

能量对于时间的导数为

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0$ 。

所以，能量是一个常数，是一个守恒量。

能量函数

思考一个物理系统，其拉格朗日量是动能 $T$ 与势能 $V$ 的差值：

${\mathcal {L}}=T-V$ 。

通常，动能的参数为广义速度 ${\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}$ （符号上方的点号表示对于时间 $t$ 的全导数），而势能的参数为广义坐标 $q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t$ ，所以，拉格朗日量的参数为 $q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t$ 。

这物理系统的运动轨道，以拉格朗日方程表示为

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$；

其中，$t$ 是时间。

拉格朗日量对于时间的全导数为

${\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$ 。

将拉格朗日方程代入，可以得到

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$。

定义“能量函数” ${\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)$ 为

${\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}$ ，

则能量函数与拉格朗日量的关系为

${\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$ 。

假若拉格朗日量显性地与时间无关，${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0$ ，${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})$ ，则能量函数是一个常数，是一个守恒量。设定 ${\mathit {h}}=E$ ，这常数 $E$ 可以称为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。

参阅

• 李亚普诺夫函数
• 哈密顿系统
• 守恒定律