普朗歇尔定理(又称帕塞瓦尔-普朗歇尔恒等式[1] )是调和分析的重要定理,由米歇尔·普朗歇尔于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说,如果
是实数线上的函数,并且
是它的频谱,那么
或者写成
范数:
数学上更严格的描述是,令函数
同时属于两个L p空间
和
,那么它的傅里叶变换
属于
, 且为
中的等距变换。
这代表限制在
上的傅里叶变换有一个唯一的等距扩张
,有时候这个扩张也被称为普朗歇尔变换。此变换同时也是幺正的,透过此变换,我们便可以好好的在平方可积函数上讨论傅里叶变换。
普朗歇尔定理可以被推广到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上,若是满足一些其他的假设,普朗歇尔定理有另一个版本在非交换局部紧致群上成立,更多细节可以参考非交换调和分析。
由于在
上内积与范数是相容的,我们也可以把普朗歇尔定理应用到
的内积上。也就是说,如果
、
是两个在
内的函数,
表示普朗歇尔变换,则
而如果
和
属于
,有
以及
所以