有限群表示论

数学里,表示理论是以线性变换的群来分析一般抽象的一种技术。相关的介绍请见群表示,此条目则讨论含有有限个元素的群的表示理论。

表示论也在诸多领域上有应用,例如说:量子化学或是量子物理等等。除此之外,有限群表示论也常应用在代数上去检验群的结构,甚至在其他数学领域上,例如调和分析或是数论上,都是有应用的。

基本定义

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此条目中的所有线性变换都是有限维的,且除了有另外提起外,基域都假定为复数域G的表示是一个群同构 ρ:G → GL(n,C),由 G一般线性群 GL(n,C) 的映射。因此,要选定一个表示,则只要将群内的每个元素配定一个方阵,其中方阵的相乘和群元素间的运算会是一样的。

若矩阵是实数的,则称 ρ 是 G 的一个实表示。换句话说,  

线性表示

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 是一个在体 上的向量空间同时 是一个有限群。一个关于群 线性表示是一个群同态 这里的 是指一般线性群而 指的是自同构群。而向量空间 则被称作是群 的表示空间。我们会将向量空间 的维度定义成一个线性表示的次数(英语:degree)。

置换表示

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另一种公式化

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表示 ρ: G → GL(n,C) 定义了 G 在向量空间 Cn 上的群作用,而且此一作用也可以完全决定 ρ 。因此,要选定一个表示,选定在表示的向量空间上的作用即已足够。

换言之,群 G 在复向量空间 V 上的作用可以推导出群代数 C[G] 在向量空间 V 上的左作用,反之亦然。因此,表示会等价于左 C[G]-模。

群代数 C[G]是一个在复数上,以 G 作用的 |G| 维代数。(参见彼德-外尔定理紧致群的例子。)而实际上, C[G]是 G×G 的一个表示。更具体地来说,若 g1g2G 的元素,且 hC[G] 中相对应至 Gh 的一个元素,则

(g1,g2)[h]=g1 h g2-1

C[G] 也可以以三种方式来做为 G 的表示:

  • 共轭: g[h] = g h g-1
  • 左作用: g[h] = g h正则表示
  • 右作用: g[h] = h g-1(同上)

这些都可以在 G×G 作用中被“找到”。

例子

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对许多的群而言,用矩阵来表示完全是一件很自然的事情。例如,一个二面体群 D4——正方形的对称,即可以两个镜射矩阵的表示来产生:

 
 

这里, m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的镜射,而 n 则是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的镜射。这些矩阵的相乘一共可以产生构成此群的八个矩阵。如上所述,可以以矩阵来表示,或者也可以以在二维向量空间 (x,y) 上的作用来表示。

此一表示是“真实的”-亦即,在矩阵和群的元素之间是一对一对应的,因为不存在在群作用下不变的 (x,y) 的子空间。

表示间的态射

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子表示和不可约表示

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由旧表示建构新表示

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应用舒尔引理

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特征理论

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历史

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另见

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参考文献

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  • Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory: A First Course. New York: Springer. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8.  The standard graduate level reference for representations of groups in general.
  • James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-44590-0.  A beautiful and readable introduction; designed for self study.
  • Jean-Pierre, Serre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90190-9.  A very well-written introduction to stated topic: concise and extremely readable.