比耶鲁姆长度

比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）是衡量介质极化程度的一种方法，定义为：在介电常数为 $\epsilon _{r}$ 的介质中，距离为$l_{B}$ 的两个基本电荷对之间的静电势能$U(r)$ 等于无规热能 $k_{B}T$ （或者距离$l_{B}$ 的一摩尔基本电荷对之间的静电势能 $U(r)$ 等于无规热能 $RT$ ）。

其中$k_{B}$为波尔兹曼常数，$T$为绝对温度，R气体常数 是波兹曼常数 k 乘上阿伏伽德罗常数 N_A。当使用摩尔数计算粒子数时，较常使用气体常数。 比耶鲁姆长度以丹麦化学家比耶鲁姆的名字命名。比耶鲁姆长度是电解质体系、聚电解质体系和胶体分散系等中的一个很自然的尺度。

在国际单位制中，比耶鲁姆长度为

$l_{B}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}k_{B}T}}$

其中，$e$为基本电荷的电量，$\epsilon _{0}$为真空电容率，$\epsilon _{r}$为溶液的相对介电常数。对于水溶液，在室温（$T=300K$），$\epsilon _{r}\approx 80$，于是$l_{B}\approx 0.7{\mbox{nm}}$

在 高斯单位制中， $4\pi \epsilon _{0}=1$ ，比耶鲁姆长度为

$l_{B}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{r}k_{B}T}}.$

例子

基本电子对间的库伦势定义为：

$u\left(r\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}}$

空气中，$\epsilon _{r}$ = 1，一摩尔相距为 $r={{l}_{B}}$ 的基本电子对，电势能为：

$u\left({{l}_{B}}\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N$

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: $u\left({{l}_{B}}\right)=RT$

${\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}={\frac {{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}}$

当温度 $T=298.15K$ 时:

${{l}_{B}}={\frac {1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left(8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K\right)}}=560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}\,$

$560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}$ 在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。