肾形线(nephroid)是外形类似肾脏平面曲线,其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός (ho nephros),和肾脏科的英文nephrology有相同的字根。肾形线主要是指Richard A. Proctor英语Richard A. Proctor在1878年提出的曲线,不过有时也会用来描述其他曲线[1][2]

肾形线可以用在一圆上滖动的圆来产生

肾形线是六度的代数曲线,可以用一个半径为 的圆在半径为的固定圆上滚动而得,因此肾形线也属于外摆线,有二个尖点。肾形线是平面的简单闭曲线,因此也是若尔当曲线

方程式

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肾形线的定义
 
杯底的肾形线焦散英语Caustic (optics)

考虑一小圆在一固定圆的外面滚动,若小圆的半径为 ,固定圆的圆心在 ,半径为 ,小圆的滚动角为 ,启始点为 (如图所示),则可以得到肾形线的

  • 参数式
 
 

   代入以下方程

  •  

可知上述方程即为肾形线的隐函数表示式英语Implicit curve

若尖点是在Y轴上,则参数式为

 

隐函数表示式为

 

性质

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上述的肾形线,有以下的性质

  • 弧长 
  • 面积 
  • 曲率半径 

参考资料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Nephroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Nephroid. Maths History. [2022-08-12]. (原始内容存档于2024-03-15) (英语). 
  • Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
  • Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
  • Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

外部链接

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