良拟序
数学分支序理论中,良拟序或良预序(英语:well-quasi-ordering,简写作wqo[1]或WQO[2])是特殊的拟序[注 1],其元素的任意无穷序列中,必有先后两项递增,即存在使。
动机
编辑良基归纳法可用于任何良基关系上,用以证明某集的全部元素皆具某性质。所以,或许会考虑某拟序是否良基[注 3]。不过,良基拟序的类,对某些运算不封闭,即由某良基拟序出发,经若干运算,构造而成的新拟序,不一定良基。欲使新拟序仍为良基,原拟序需追加若干限制。
以幂集运算为例。给定集合 上的拟序 ,可以定义幂集 上的拟序 ,使 当且仅当对 的每个元素,皆可在 中找到元素大于等于该元素。可以证明 不必良基,但若原拟序为良拟序,则幂集的拟序确实良基。[3]:116
定义
编辑集合 上的良拟序(well-quasi-ordering)是一种预序关系(即满足自反性 、传递性 的的二元关系 ),使得 中任意无穷序列 ,皆有先后两项 ( )递增。若有此种良拟序,则 本身称为良拟序集(well-quasi-ordered set),简写为wqo。[1]:210–211
良偏序(well-partial-ordering)既是良拟序又是偏序,即除前述条件外,尚具反对称性 。
良拟序有其他等价定义,如将条件改为既不含无穷严格递减序列 [注 2],又不含任意两项不可比的无穷序列。换言之,拟序 为良拟序当且仅当 良基,且不含无穷反链。(与§ 无穷递增子序列的拉姆齐论证相似。)[1]:211
性质
编辑- 给定拟序 ,在幂集上有另一拟序 ,其中 。此关系为良基当且仅当 本身是wqo。[3]:116
- 给定良拟序 ,若有一列子集 ,其中每个子集皆向上封闭[注 4],则该序列终必恒定,即自某个 起,以后各项 。假若不然,则对每个 ,存在 使 非空,从中选一个元素,如此可得某个无穷序列,其无递增的两项。
- 给定良拟序 , 的任何子集 关于 仅得有限多个极小元,否则该些极小元组成无穷反链。
无穷递增子序列
编辑若 为wqo,则任意无穷序列 ,皆有无穷上升子序列 (各下标 )。此种子序列或称为“完美”(perfect)。[4]:245可用拉姆齐证法[注 5]:给定序列 ,考虑全部 中,何者使 右边没有任何 满足 。记此种 的集合为 。若 无穷,则以 为下标集的子序列将不具递增的两项,与 为wqo的假设抵触。所以, 为有限集。只要 大于 中所有元素,则 不属 ,故有某个 使 ,如此可逐项延伸,得到无穷递增子序列。
“任意序列皆有无穷上升子列”与wqo的条件等价,亦可作为另一种定义。[4]:245
例
编辑- ,自然数集配备平常的大小序,是良偏序,乃至良序。不过,若允许负数,换成整数集的大小序 ,则并非良拟序,因为此大小关系并非良基:负数组成无递增两项的序列。(图一)
- ,自然数集按整除序,不是良拟序:素数两两不可比较,组成无穷反链。(图二)
- ,自然数 元组的集合逐分量排序[注 6],是良偏序。此为迪克逊引理[5](图三)。更一般地,若 为良拟序,则对任意正整数 ,积序 亦是良拟序。
- 设 为有限集,且至少有两个元素。克莱尼星号 是字母取自 的全体有限字串之集。按字典序, 不是良拟序,因为有无穷递降序列 。同样, 关于前缀关系亦非良拟序,因为前述序列在该偏序下是无穷反链。然而, 倘按子序列关系排序,则是良偏序。[6](在 只有一个元素的退化情况,此三种偏序完全一样。)
- 推而广之,以 为字母集的有限串集 ,按“嵌入”排序,如此组成良拟序当且仅当 本身是良拟序,此结论称为希格曼引理[7]。其中所谓字串 可以嵌入到 ,意思是 中有与 等长的子序列,逐项大于等于 。若取子母集为无序集 ,则字串 当且仅当 是 的子序列,退化成前款情况。
- 相反,良拟序 上的无穷序列集,记为 ,按嵌入序,一般不为良拟序。换言之,希格曼引理不适用于无穷序列。数学家引入优拟序,以期望推广希格曼引理。
- 以wqo 之元素标记顶点的有限树全体,按嵌入排序,也是wqo,即克鲁斯克尔树定理[1]。此处的树有选定根节点,而嵌入的要求有三:某节点的子节点要映到该节点之像的后嗣;同节点的不同子节点,要映到该节点之像的不同子分支上;每个节点处的标记,小于等于其像的标记。
- 无穷树之间的嵌入关系[注 7]是wqo,由克里斯平·纳许-威廉斯所证。[8][9]
- 可数全序类之间的嵌入关系是良拟序,同样散布[注 8]全序类之间亦然。(莱弗定理[10])
- 可数布尔代数的嵌入序是良拟序,由莱弗定理证得。[11]:98
- 有限图按图子式序组成良拟序集。(罗伯逊-西摩定理)
- 对每个正整数 ,树深至多为 的图,按导出子图序,组成良拟序集。亦可同上考虑以良拟序 标记其顶点,并要求该导出子图的嵌入映射,使每个顶点的像的标记皆大于等于原标记,仍得良拟序。[12]此外,补可约图按导出子图序,构成良拟序。[13]
与良偏序的关联
编辑字面上,良拟序较良偏序广义,但基于以下观察,两者实际分别不大:[4]:250一方面,wpo必为wqo。另一方面,若有某wqo,则其各等价类[注 9]组成wpo。举例整数集 的整除序是拟序 (但不是良拟序),其等价类形如 ,所以等价类组成的偏序同构于 。
据米尔纳[2],“考虑拟序,并不比偏序更为概括……仅是因为较方便。”又例如,在全序类的嵌入拟序中,开区间 与闭区间 不同构,但可互相嵌入,所以在对应偏序中属同一等价类,托马斯·福斯特称该等价类“似乎不是很有启发性”,而且,全体偏序集按包含关系组成的偏序类,虽然链完备,但并不完备,若改为考虑全体拟序集则不会有此问题。[3]:112
注
编辑参考文献
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no real gain in generality is obtained by considering quasi-orders rather than partial orders… it is simply more convenient to do so.
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