中位数

统计学上，中位数（英语：Median），又称中央值^[1]、中值，是一个样本、种群或概率分布中之一个数值，其可将数值集合划分为数量相等的上下两部分。对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

一个数集中最多有一半的数值小于中位数，也最多有一半的数值大于中位数。如果大于和小于中位数的数值个数均少于一半，那么数集中必有若干值等同于中位数。

设连续随机变量X的分布函数为F(X)，那么满足条件P(X≤m)=F(m)=1/2的数称为X或分布F的中位数。

对于一组有限个数的数据来说，其中位数是这样的一种数：这群数据的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。

计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

公式

实数 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 按大小顺序（顺序，降序皆可）排列为 $x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{n}$ 、

实数数列 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 的中位数 $\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)$ 为

\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd number.}}\\{\frac {1}{2}}(x'_{\frac {n}{2}}+x'_{{\frac {n}{2}}+1}),&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even number.}}\end{cases}}

其中 odd number 表示奇数，even number 表示偶数。

中位数特性

中位数在描述统计学上和平均数、众数并列为数据的集中趋势。三者的位置排序亦对应着偏度的正负偏态意义。一般而言，平均数是最常被使用做为数据的集中趋势，但如果有极端值存在，平均数的代表性降低，也就所谓的“男人女人平均一颗睾丸”的问题，因此在有极端值的状况下，中位数是比较好的集中趋势代表。因此，在各国的每人所得分布上，通常以中位数代表集中趋势，而非平均数^[2]。

中位数通常出现在描述统计学和非参数统计，有母数的统计分析很少提及。中位数为集中趋势时，对应的离散趋势系数为平均绝对离差（Mean absolute deviation, MAD）或是四位位距(Q3 - Q1)。不过如果论及总体中位数的统计量时，仍需根据统计分析对抽样分配的要求，寻找总体中位数统计量的期望与方差，再依照点估计的充分、无偏、效率、一致性进行讨论。而总体中位数的统计量通常是样本中位数。因此，样本中位数的期望与方差就值得被讨论，进行基础研究。

正态分配下的中位数

正态分配下的平均数、中位数、众数都是同一个位置。目前最为世人熟知的是平均数的抽样分配会是正态分配，期望为总体平均数 $\mu$ 且方差为总体方差( $\sigma _{2}$ )。统计学对正态分配的总体平均数统计量说明甚多，并发展完善。那么中位数可基于概率分配模拟器和数值分析发展，在n个独立随机变量来自正态分配可生成n个随机样本，则E(样本中位数)= $\mu$ 且Var(样本中位数)= $\sigma _{2}k(n)$ ，其中，k(n)受到样本个数(n)影响。当样本个数介于2至200时，两者的关系不明显，但可计算出样本个数和k(n)的关联表^[3]。

k(n)和n的对应表
n	k(n)	n	k(n)	n	k(n)
2	0.500267128	70	0.021985179	138	0.011271806
3	0.448703237	71	0.021403637	139	0.011269587
4	0.298172500	72	0.021393271	140	0.011109049
5	0.286770401	73	0.020840845	141	0.011111745
6	0.214713620	74	0.020830427	142	0.010959968
7	0.210476952	75	0.020295864	143	0.010962027
8	0.168172011	76	0.020294599	144	0.010810205
9	0.166171644	77	0.019776971	145	0.010809127
10	0.138304145	78	0.019777466	146	0.010661452
11	0.137221972	79	0.019291777	147	0.010659591
12	0.117603985	80	0.019294767	148	0.010513172
13	0.116875871	81	0.018831955	149	0.010523498
14	0.102209683	82	0.018826854	150	0.010377973
15	0.101704592	83	0.018394657	151	0.010379735
16	0.090397468	84	0.018390467	152	0.010244606
17	0.090046842	85	0.017972657	153	0.010247290
18	0.081017991	86	0.017972309	154	0.010109136
19	0.080776427	87	0.017567447	155	0.010114347
20	0.073450103	88	0.017564340	156	0.009986419
21	0.073284584	89	0.017187295	157	0.009984465
22	0.067168338	90	0.017189110	158	0.009862704
23	0.067002164	91	0.016812903	159	0.009858886
24	0.061881619	92	0.016813666	160	0.009735345
25	0.061762647	93	0.016466660	161	0.009736185
26	0.057309720	94	0.016462668	162	0.009617128
27	0.057271174	95	0.016125488	163	0.009619325
28	0.053440064	96	0.016119237	164	0.009501480
29	0.053332370	97	0.015802880	165	0.009502525
30	0.049992614	98	0.015797856	166	0.009389839
31	0.049937448	99	0.015492872	167	0.009388423
32	0.047029351	100	0.015490432	168	0.009279058
33	0.046965211	101	0.015190773	169	0.009277712
34	0.044337988	102	0.015189776	170	0.009169514
35	0.044336558	103	0.014904567	171	0.009169768
36	0.041990927	104	0.014896640	172	0.009061071
37	0.041942218	105	0.014628725	173	0.009060657
38	0.039852927	106	0.014623638	174	0.008961003
39	0.039832458	107	0.014359452	175	0.008957769
40	0.037939073	108	0.014359166	176	0.008860612
41	0.037904745	109	0.014100614	177	0.008859363
42	0.036184274	110	0.014104129	178	0.008762802
43	0.036152192	111	0.013856818	179	0.008760489
44	0.034579591	112	0.013854712	180	0.008665028
45	0.034577569	113	0.013609600	181	0.008663662
46	0.033133177	114	0.013610680	182	0.008571695
47	0.033118807	115	0.013383360	183	0.008570240
48	0.031791145	116	0.013382329	184	0.008475410
49	0.031783399	117	0.013153728	185	0.008477845
50	0.030548873	118	0.013156167	186	0.008388634
51	0.030533811	119	0.012938560	187	0.008384818
52	0.029411882	120	0.012939455	188	0.008300454
53	0.029402885	121	0.012729706	189	0.008300175
54	0.028347691	122	0.012731381	190	0.008214157
55	0.028342062	123	0.012533040	191	0.008211878
56	0.027348747	124	0.012525181	192	0.008130539
57	0.027350473	125	0.012333899	193	0.008128310
58	0.026442809	126	0.012334408	194	0.008045347
59	0.026436289	127	0.012141084	195	0.008041810
60	0.025573242	128	0.012138522	196	0.007964784
61	0.025575279	129	0.011964057	197	0.007961234
62	0.024780610	130	0.011961887	198	0.007882679
63	0.024751923	131	0.011782874	199	0.007882009
64	0.024005574	132	0.011779941	200	0.007806200
65	0.024006688	133	0.011604216	201	0.007801090
66	0.023304209	134	0.011600908	202	0.007729016
67	0.023287460	135	0.011433315	203	0.007728333
68	0.022616908	136	0.011438587	204	0.007654504
69	0.022624425	137	0.011271806	205	0.007652196

如果样本个数超过200，但不超过1000时，两者有明显的关系，并且受到样本个数是否为奇数或偶数影响。此时可使用回归分析寻找两者的关系。

1. 样本个数为偶数，回归式为k(n) = 0.0000148965 + 1.5599936862 / n。

2. 样本个数为奇数，回归式为k(n) = 0.0000084608 + 1.5674001064 / n。

由此可得到样本中位数的方差和总体正态分配的方差形成稳定的对应关系^[4]。

参考文献

^ median - 中央值；中位數；正中的 - 國家教育研究院雙語詞彙. 国家教育研究院. [2022-04-21]. （原始内容存档于2018-11-24）（中文（台湾））.
^ 台北市政府主计处，台北市家庭所得概况，民国106年。(连结（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
^ (PDF) Source code of how to run sample median's variance. ResearchGate. [2021-10-21]. doi:10.13140/rg.2.2.16784.23041 （英语）.
^ (PDF) The Relationships between Variances of Normal Distribution and Sample Median: Sample size from 200 to 1000. ResearchGate. [2021-10-31]. doi:10.13140/rg.2.2.12462.13124/1 （英语）.

外部链接

Calculating the median
A problem involving the mean, the median, and the mode.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
mathworld: Statistical Median（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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[1] - 中央值；中位數；正中的 - 國家教育研究院雙語詞彙. 国家教育研究院. [2022-04-21]. （原始内容存档于2018-11-24）（中文（台湾））.

[2] 台北市政府主计处，台北市家庭所得概况，民国106年。(连结（页面存档备份，存于互联网档案馆）)

[3] (PDF) Source code of how to run sample median's variance. ResearchGate. [2021-10-21]. doi:10.13140/rg.2.2.16784.23041 （英语）.

[4] (PDF) The Relationships between Variances of Normal Distribution and Sample Median: Sample size from 200 to 1000. ResearchGate. [2021-10-31]. doi:10.13140/rg.2.2.12462.13124/1 （英语）.

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