垂直轴定理

在物理学里，垂直轴定理（也叫“正交轴定理”）可以用来计算一片薄片的转动惯量。思考一个直角座标系，其中两个座标轴都包含与平行于此薄片；如果已知此薄片对于这两个座标轴的转动惯量，则垂直轴定则可以用来计算薄片对于第三个座标轴的转动惯量。

假设OXYZ座标系统的 X-轴与 Y-轴都包含与平行于此薄片，而 Z-轴垂直于薄片的面。$I_{X}\,\!$ 与 $I_{Y}\,\!$ 分别代表薄片对于 X-轴与 Y-轴的转动惯量．那么，薄片对于 Z-轴的转动惯量为

$I_{Z}=I_{X}+I_{Y}\,\!$ 。

垂直轴定理、平行轴定理、与伸展定则可以用来计算许多不同形状的物体的转动惯量。

导引

厚度很薄的薄片

任何实际存在的刚体都有厚度；不可能有零厚度的刚体。参考右图，假设这刚体是一块很薄的薄片，厚度 $t\,\!$ 是均匀的，密度也是均匀的。设定薄片的面与 XY-面共平面。那么，刚体对于 X-轴、Y-轴、与 Z-轴的转动惯量分别为

$I_{X}=\int (y^{2}+z^{2})\;dm\,\!$ 、

$I_{Y}=\int (x^{2}+z^{2})\;dm\,\!$ 、

$I_{Z}=\int (x^{2}+y^{2})\;dm\,\!$ 。

由于厚度超小于薄片的面尺寸，我们可以忽略 $z^{2}\,\!$ 对于积分的贡献．因此，

$I_{X}\approx \int y^{2}\;dm\,\!$ 、

$I_{Y}\approx \int x^{2}\;dm\,\!$ 。

所以，

$I_{Z}=I_{X}+I_{Y}\,\!$ 。

实例

薄圆盘

a) 如右图，一个半径为 $r\,\!$，质量为 $m\,\!$ 的薄圆盘，对于 Z-轴的转动惯量为

$I_{Z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$ 。

所以，对于X-轴与 Y-轴的转动惯量是

$I_{X}=I_{Y}={\frac {I_{Z}}{2}}={\frac {1}{4}}mr^{2}\,\!$ 。

长方形薄片

b) 如右图，一个尺寸为 $a\times b\,\!$，质量为 $m\,\!$ 的长方形薄片,对于 X-轴、Y-轴、与 Z-轴的转动惯量分别为

$I_{X}={\frac {1}{12}}ma^{2}\,\!$ 、

$I_{Y}={\frac {1}{12}}mb^{2}\,\!$ 、

$I_{Z}={\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})\,\!$ 。

很明显地，

$I_{Z}=I_{X}+I_{Y}\,\!$ 。

参考文献

• 程稼夫. 中学奥林匹克竞赛物理教程.力学篇 第2版. 中国科技大学出版社. 2013: 281. ISBN 978-7-312-03193-9 （中文（中国大陆））. 

参阅

• 转动惯量列表
• 平行轴定理