威诺格拉德快速傅里叶算法 （英语：Winograd FFT ）是由美国电脑科学家Shmuel Winograd
当把DFT 的公式：
y
j
=
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
e
−
j
2
π
n
i
k
j
=
0
,
1
,
⋯
,
n
−
1.
{\displaystyle y_{j}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}e^{-j{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{n}}\end{matrix}}ik}\qquad j=0,1,\cdots ,n-1.}
用矩阵方式来表示：
[
y
0
y
1
⋮
y
n
−
1
]
=
[
1
1
1
⋯
1
1
1
w
w
2
⋯
w
n
−
2
w
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋮
1
w
n
−
1
w
2
(
n
−
1
)
⋯
w
(
n
−
2
)
(
n
−
1
)
w
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
[
x
0
x
1
⋮
x
n
−
1
]
,
w
=
e
−
j
2
π
n
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1&1\\1&w&w^{2}&\cdots &w^{n-2}&w^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\1&w^{n-1}&w^{2(n-1)}&\cdots &w^{(n-2)(n-1)}&w^{(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{bmatrix}},\quad w=e^{-j{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{n}}\end{matrix}}}}
如果n是质数，则可以无视第一行与第一列，把n点的DFT用n-1点的回旋折积来取代。
使用此算法，可分为以下几个步骤，此处以n=5的DFT为例：
[
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
]
=
[
1
1
1
1
1
1
w
w
2
w
3
w
4
1
w
2
w
4
w
w
3
1
w
3
w
w
4
w
2
1
w
4
w
3
w
2
w
]
[
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
]
,
w
=
e
−
j
∠
72
∘
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\1&w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\1&w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\1&w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}},\qquad w=e^{-j\angle 72^{\circ }}}
[
y
1
−
x
0
y
2
−
x
0
y
3
−
x
0
y
4
−
x
0
]
=
[
w
w
2
w
3
w
4
w
2
w
4
w
w
3
w
3
w
w
4
w
2
w
4
w
3
w
2
w
]
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
,
w
=
e
−
j
∠
72
∘
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}},\qquad w=e^{-j\angle 72^{\circ }}}
Step 2：找出列与行的顺序：
a)找出一个原根 a，使得
a
k
mod
N
≠
1
w
h
e
n
k
=
1
,
2
,
⋯
,
N
−
2
,
a
N
−
1
mod
N
=
1
{\displaystyle a^{k}{\bmod {N}}\neq 1\quad when\quad k=1,2,\cdots ,N-2,\quad a^{N-1}{\bmod {N}}=1}
b)用p[n]表示列与行的顺序：
p
[
n
]
=
a
n
mod
N
,
n
=
0
,
1
,
⋯
,
N
−
2
{\displaystyle p[n]=a^{n}{\bmod {N}},\quad n=0,1,\cdots ,N-2}
在这例子中，N=5有两个原根：2与3。取2作为其原根，可得其顺序为：1,2,4,3。
[
y
1
−
x
0
y
2
−
x
0
y
3
−
x
0
y
4
−
x
0
]
=
[
w
w
2
w
3
w
4
w
2
w
4
w
w
3
w
3
w
w
4
w
2
w
4
w
3
w
2
w
]
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{3}&w^{4}\\w^{2}&w^{4}&w&w^{3}\\w^{3}&w&w^{4}&w^{2}\\w^{4}&w^{3}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}}\quad }
[
y
1
−
x
0
y
2
−
x
0
y
4
−
x
0
y
3
−
x
0
]
=
[
w
w
2
w
4
w
3
w
2
w
4
w
3
w
w
4
w
3
w
w
2
w
3
w
w
2
w
4
]
[
x
1
x
2
x
4
x
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{2}&w^{4}&w^{3}\\w^{2}&w^{4}&w^{3}&w\\w^{4}&w^{3}&w&w^{2}\\w^{3}&w&w^{2}&w^{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{4}\\x_{3}\end{bmatrix}}\quad }
如此第一行与第一列都跟所求得的顺序：1,2,4,3一样，此为circular correlation 的形式。
Step 3：为了要符合回旋折积 的定义(矩阵的对角线的项数相同)，故必须再将第二列与第四列交换，第二行与第四行交换，矩阵如下：
[
y
1
−
x
0
y
3
−
x
0
y
4
−
x
0
y
2
−
x
0
]
=
[
w
w
3
w
4
w
2
w
2
w
w
3
w
4
w
4
w
2
w
w
3
w
3
w
4
w
2
w
]
[
x
1
x
3
x
4
x
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w&w^{3}&w^{4}&w^{2}\\w^{2}&w&w^{3}&w^{4}\\w^{4}&w^{2}&w&w^{3}\\w^{3}&w^{4}&w^{2}&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{2}\end{bmatrix}}\quad }
如此就可把N点DFT用N-1点的DFT来简化，表示如下：
[
y
1
−
x
0
y
3
−
x
0
y
4
−
x
0
y
2
−
x
0
]
=
I
F
F
T
[
F
F
T
4
{
[
x
1
x
3
x
4
x
2
]
}
.
F
F
T
4
{
[
w
1
w
3
w
4
w
2
]
}
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\end{bmatrix}}=IFFT\left[FFT_{4}\left\{{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{2}\end{bmatrix}}\right\}.FFT_{4}\left\{{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{3}\\w^{4}\\w^{2}\end{bmatrix}}\right\}\right]}
虽然此算法有着可以大幅减少乘法量的优点，但相对于此，也有一些缺点：
N不同，那硬件的架构也会跟着改变。
Time Cycle较多（因为要做两次N-1点的DFT）。
加法量会增加很多。
任意长度的DFT都可以用长度为
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
7点的DFT：先将7点DFT用Winograd简化成6点DFT，再利用6=2x3，故6点DFT可用2点DFT与3点的DFT来表示，再把3点的DFT用Winograd简化成2点的DFT，即可把7点的DFT用
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
S.Winograd, "On computing the discrete Fourier transform," Mathematics of Computation, vol.32,no.141,pp.179-199,Jan.1978. 
![{\displaystyle p[n]=a^{n}{\bmod {N}},\quad n=0,1,\cdots ,N-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d50ce09c44cac7dda65c1b28c40000c8d14bb2)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}-x_{0}\\y_{3}-x_{0}\\y_{4}-x_{0}\\y_{2}-x_{0}\end{bmatrix}}=IFFT\left[FFT_{4}\left\{{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{2}\end{bmatrix}}\right\}.FFT_{4}\left\{{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{3}\\w^{4}\\w^{2}\end{bmatrix}}\right\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d845b66701172418f965709d54c4a19ccaa83d6c)
