支配 (图论)

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1	dom	1	2	3	4	5	6
2	dom		2	3	4	5	6
3	dom			3
4	dom				4
5	dom					5
6	dom						6
支配关系图
灰色节点 表示非严格支配
红色节点 表示直接支配

在计算机科学中，控制流图的一个节点（基本块） d 支配节点 n，当且仅当从开始节点（可以理解为源）到节点 n的每一条路径均要经过节点d，写作d dom n (一写作d $\gg$ n)。根据上述定义，容易得到每个节点均支配其自身。

以1作为开始节点的控制流图实例

一些相关概念：

• 说一个节点 d 严格支配节点n，当且仅当 d支配 n 而不等于 n。
• 节点 n 的直接支配节点（immediate dominator），简称 idom 是一个独特的节点，它严格支配节点 n，却不严格支配任何严格支配节点n的其他节点。不是所有的节点均有直接支配节点，如开始节点就没有。
• 一个节点 d 的可支配边界是一个点集，其中任意节点n均满足， d 能支配 n 的前驱结点，却不能严格支配 n。就是 d 支配能力的极限。
• 一个支配树是一棵树，它的所有节点儿子是被其直接支配的所有节点。由于直接支配节点是唯一的，故其为一棵树，开始节点即为树根。
• 求解支配树一般使用 Tarjan 算法

求解支配树的一般方法

一般而言，会使用 Tarjan 算法在 $O(|V|+|E|)$的时间内将其求出

大概步骤

首先来介绍一些这个算法的大概步骤

1. 对图进行DFS（深度优先遍历）并求出搜索树和DFS序。这里用 $dfn[x]$表示点 $x$在dfs序中的位置。
2. 根据半必经点定理计算出所有的半必经点作为计算必经点的根据
3. 根据必经点定理修正半必经点，求出支配点。

半必经点

用 idom[x] 表示点 $x$的直接支配节点，用 semi[x] 表示点 $x$的半必经点。

那什么是半必经点呢？

對於一個節點 $Y$，存在某個點 $X$能夠通過一系列點 $p_{i}$（不包含 $X$和 $Y$）到達點 $Y$且 $\forall i\ dfn[i]>dfn[Y]$，就稱 $X$是 $Y$的半必經點，記做 semi[Y]=X

当然一个点的“半必经点” $X$会有多个，而且这些半必经点一定是搜索树中点 $X$的祖先。

对于每个点，只需要保存其半必经点中最小的一个，下文中用表示点的半必经点中值最小的点的编号。

可以更书面一点的描述这个定理：

• 对于一个节点 $Y$考虑所有能够到达它的节点，设其中一个为 $X$
• 若 $dfn[X]<dfn[Y]$，则 $X$是 $Y$的一个半必经点

• 若 $dfn[X]>dfn[Y]$，那么对于 $X$在搜索树中的祖先 $Z$(包括 $X$)，如果满足 $dfn[Z]>dfn[Y]$那么 semi[Z] 也是 $Y$的半必经点

历史

计算机科学中支配的概念第一次被提出是在Reese T. Prosser在1959年一篇关于流网络的论文中提出的 而在此论文中，Prosser并未提出一种有效算法以计算支配关系,解决这一问题的有效算法直到十年后才被 Edward S. Lowry and C. W. Medlock 提出。Ron Cytron等人在1989年将其应用于高效计算应用于静态单赋值形式的φ 函数时对其重新燃起了兴趣。

参考

4.https://blog.csdn.net/a710128/article/details/49913553