概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续周期函数的推广。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。

定义

概周期函数有若干个等价定义。根据哈那德·玻尔引进的分析学上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数$f$ 如果满足：对任意正实数$\epsilon$，都存在实数$l(\epsilon )>0$，使得任意长度为$l(\epsilon )$ 的区间里至少存在一个数$t$，使得对于任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon$

在高维欧几里得空间$\mathbb {R} ^{n}$中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在复平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到这类型的函数是在研究有限项狄利克雷级数的时候。当把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限项后，得到的是一些形如

$e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,$

的项。其中的$\sigma +{\rm {{i}t=s}}$。如果只考虑复平面上的一条竖直的直线（也就是说固定s 的实数部分$\sigma$，而实数$t$ 在正负无穷大之间变动），那么实际上每一项变成：

$t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,$

如果只观察有限个这样的函数的和（以避免$\sigma <1$ 时的解析开拓的问题），那么由于对不同的n，$e^{(\log n)it}$是线性无关的，这个和不再是一个周期函数。

在相关研究中，哈那德·玻尔开始注意形如：

$t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,$

的三角多项式函数。它是若干个周期互不相同的周期函数$e^{i\lambda _{k}t}\,$的和。于是概周期函数的另一个定义出现了：如果对每个$\epsilon >0$，都存在三角多项式函数：$T_{\epsilon }(x)$，使得对于任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon$

可以证明，这个定义与第一个定义是等价的。

例子

考虑若干三角多项式函数：

$f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)$

其中$\lambda _{k}$ 是复数。每一个$f_{n}$ 都是周期函数，因此有限个$f_{n}$ 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

$f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)$

$f$不是周期函数，但仍然是概周期函数。

性质

• 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
• 如果$f$ 是概周期函数，那么对于任意实数$a$，$f(x+a)$、$f(ax)$、$af(x)$、$|f(x)|$ 也是概周期函数。
• 如果$f$ 和$g$ 都是概周期函数，那么$f+g$、$f-g$ 和$f\cdot g$ 都是概周期函数。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数，$H$是$f$ 的值域到$\mathbb {R}$上的一致连续函数, 则$H(f(x))$也是概周期函数。
• 如果概周期函数的序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在实轴上一致收敛于函数$f(x)$ ，则$f(x)$ 也是概周期函数。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数, 则$f'(x)$ 为概周期函数的充分必要条件是$f(x)$ 的导函数$f'(x)$ 一致连续。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数，$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$，则$F(x)$ 为概周期函数的充要条件为$F(x)$ 有界。

参看

• 伪概周期函数
• 准周期函数
• 非周期函数
• 傅里叶级数
• 计算机音乐

参考书籍

• A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
• Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156 
• H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
• H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
• Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4