测地曲率

测地曲率：设P是曲线（C）上一点，$\alpha$是（C）在P点的单位切向量，$\beta$是主法向量，$\gamma$是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命$\varepsilon =n\times \alpha$。

曲线（C）在P点的曲率向量${\ddot {r}}=k\beta$在$\varepsilon$上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）

$k_{g}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon$

称为曲线（C）在P点的测地曲率。

---

相关命题

• 曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

• $k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}$

式中，k为曲线在P点的曲率，$k_{n}$为曲线在P点的法曲率。

二维曲面常用的测地曲率公式

今有一紧致定向的二维曲面S，其线元素可用曲面的第一基本形式的系数表示为：$ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,$，则其度量张量可表成下列关系式：

$(g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}$

每当进行涉及到微分几何的实用演算时，都会用到其分量形式以利细部计算，因此有必要将前述向量形式定义的测地曲率以其分量形式来表征，以下将界定在二维曲面上局部范围，有关公式及其推导过程，可于列出的相关参考文献中找到。

二维曲面测地曲率之Beltrami公式

令$C$为曲面S上的一正则曲线，在此曲线上以其弧长$s$为参数，则曲线$C$的参数方程式为$C:r(s)=(u(s),v(s))$，则它在P点的测地曲率$k_{g}$可表为下列克氏符号（全称克里斯多福符号，Christoffel symbols）相关的表示式 ：

$k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]$

上述用克式符号表示测地曲率的一般公式即是所谓的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。这里所用的克氏符号 Γk
ij 在有些书籍还会沿用旧式的 {k
ij}符号注记。由于克式符号属曲面的内蕴性质，而上述测地曲率一般公式只和克式符号与曲面第一基本形式有关，因此，测地曲率必然是属曲面的内蕴几何量。

今若曲线$C$是沿着$u=(s)$座标线的话，此时$v=$常数，使得$dv/ds=0$以及$du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}$，那么其测地曲率可算得为：

$(k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)$

同理，假如曲线$C$是沿着$v=(s)$座标线的话，使得$u=$常数，因此$du/ds=0$以及$dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}$，那么其测地曲率可化简为：

$(k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)$

二维曲面测地曲率之Liouville公式

令$C$为曲面S上的一正则曲线，在此曲线上以其弧长$s$为参数，则曲线$C$的参数方程式为$C:r(s)=(u(s),v(s))$，今其参数化是采正交座标系，换言之，第一基本形式的系数$F=0$，又令曲线$C$在P点与$u$座标线的夹角为$\theta$，则它在P点的测地曲率$k_{g}$可表为下列与$\theta (s)$夹角相关的Liouville公式 ：

${\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}$

上述公式中的$(k_{g})_{u-line}$与$(k_{g})_{v-line}$乃分属于两个座标线对应的测地曲率，至于它们的具体表征是什么，接下来将分别推导出其详细内容。首先，考量如若曲线$C$是沿着$u=(s)$座标线的话，此时$v=$常数，则有$dv/ds=0$以及$du/ds=1/{\sqrt {E}}$，那么该测地曲率可算得为：

$(k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}$

同理，假如曲线$C$是沿着$v=(s)$座标线的话，此时$u=$常数，导致$du/ds=0$以及$dv/ds=1/{\sqrt {G}}$，那么此测地曲率可算得为：

$(k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}$

以上测地曲率之Liouville公式就已列出有三种，若觉得怎么会有这么多样形式，其实还有其他变形，例如可参考网络上更加精简且优美的形式，这端赖解析问题时，需要配套什么形式的公式而定。

---