线性代数基本定理

线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解:

A=U\Sigma V^{T}\

对于矩阵 $A\in \mathbf {R} ^{m\times n}$ ( $A$ 有 $m$ 行及 $n$ 列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字	定义	包含于	维数	基
列空间、值域或像	$\mathrm {im} (A)$ 或 $\mathrm {range} (A)$	$\mathbf {R} ^{m}$	$r$	$\mathbf {U}$ 的前 $r$ 列
左零空间或上核	$\mathrm {ker} (A^{T})$ 或 $\mathrm {null} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{m}$	$m-r$	$\mathbf {U}$ 的后 $m-r$ 列
行空间或余象	$\mathrm {im} (A^{T})$ 或 $\mathrm {range} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{n}$	$r$	$\mathbf {V}$ 的前 $r$ 列
零空间或核	$\mathrm {ker} (A)$ 或 $\mathrm {null} (A)$	$\mathbf {R} ^{n}$	$n-r$	$\mathbf {V}$ 的后 $n-r$ 列

Secondly:

In $\mathbf {R} ^{n}$ , $\mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$ , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
In $\mathbf {R} ^{m}$ , $\mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$ , 也就是, 左零空间为列空间的正交补.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 $A\colon V\to W$ 与 $A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ : $A^{*}$ 的核与像是 $A$ 的上核与余象.

参见

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
Strang, Gilbert, The fundamental theorem of linear algebra (PDF), American Mathematical Monthly, 1993, 100 (9): 848–855, JSTOR 2324660, doi:10.2307/2324660 ^{[失效链接]}