证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式

欧拉在他的论文《无穷级数的一些检视》(Various Observations about Infinite Series)中证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式,并于1737年由当时的科学院出版。[1][2]

公式

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黎曼ζ函数欧拉乘积的方式可写成

 

而左方等于黎曼ζ函数

 

右方的乘积则扩展至所有素数p

 

证明

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证明方法采用了埃拉托斯特尼筛法的概念,此筛法用于找寻出特定范围内的素数。

证明过程只需用到简单的代数概念,这亦是欧拉当初使用的证明方法。

 (1)
 (2)

从(1)式减去(2)式:

 (3)

重复上面步骤:

 (4)

从(3)式减去(4)式,可得:

 

这次2和3的所有倍数项都被减去。可见右方的的倍数项可被筛去,不断重复以上步骤可得:

 

左右两方除以所有括号项,我们得到:

 

最后,公式可写成素数的无穷乘积:

 

证毕。

为了使证明更严密,我们只需注意到当 ,已筛的右方项趋向1,并遵从狄利克雷级数的收敛性。

从以上公式可推导出 ζ(1) 的有趣结果。

 

可以写成,

 
 

又知:

 

所以

 

我们得知左式是调和级数,并发散至无穷大,故此右式的分子(素数阶乘)必定同样发散至无穷大。由此可以证明素数有无限多个。

参见

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参考资料

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  1. ^ O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. A history of calculus. University of St Andrews. February 1996 [2007-08-07]. (原始内容存档于2007-07-15). 
  2. ^ John Derbyshire (2003), chapter 7, "The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem"
  • John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 978-0-309-08549-6