轮廓 (聚类)

在机器学习与数据挖掘领域，轮廓指的是一种反映数据聚类结果一致性的方法，可以用于评估聚类后簇与簇之间的离散程度。^[1]轮廓的取值范围为[-1, +1]，如果某一样本的轮廓接近1，则说明样本聚类结果合理；如果接近-1，则说明其更应该分类到其他的簇；如果轮廓近似为0，则说明该样本在两个簇的边界上。所有样本轮廓的均值称为聚类结果的轮廓系数（Silhouette Coefficiency），是该聚类是否合理、有效的度量。

定义

该图显示了Orange数据挖掘套件渲染的动物园数据集中的三种动物的轮廓。在图底部的轮廓值反映了该数据集中海豚和鼠海豚是离群值（outlier）

假设某一数据集使用如k-means等聚类方法分成了 $k$ 个簇：

对于某一属于簇 $C_{i}$ 样本 $i$ ，记为 $i\in C_{i}$ ，设 $d(i,j)$ 为样本 $i$ 与 $j$ 之间的距离，求算样本 $i$ 与其他样本之间的平均距离的公式如下（由于不计算样本与自身的距离 $d(i,i)$ ，故计算平均值时样本总数为 $|C_{i}|-1$ ）：

a(i)={\frac {1}{|C_{i}|-1}}\sum _{j\in C_{i},i\neq j}d(i,j)

上述公式结果记为 $a(i)$ ，它反映了样本 $i$ 当前聚类结果的优劣（值越小，聚类结果越好）。

然后，我们定义样本与某簇 $C_{k}$ 的平均相异性为与样本 $i$ 距离簇的平均值 $i$ 到簇 $C_{k}$ 内所有样本的距离均值（ $C_{k}\neq C_{i}$ ），则对于样本 $i\in C_{i}$ ，有 $i$ 最小平均距离 $b(i)$ 对应的簇 $C_{k}$ ，我们称其为 $i$ 的“相邻簇”：

b(i)=\min _{k\neq i}{\frac {1}{|C_{k}|}}\sum _{j\in C_{k}}d(i,j)

结合上述内容，我们定义 $i$ 的轮廓值为：

s(i)={\frac {b(i)-a(i)}{\max\{a(i),b(i)\}}}

等效为：

s(i)={\begin{cases}1-a(i)/b(i),&{\mbox{if }}a(i)<b(i)\\0,&{\mbox{if }}a(i)=b(i)\\b(i)/a(i)-1,&{\mbox{if }}a(i)>b(i)\\\end{cases}}

对于上述定义，显然 $-1\leq s(i)\leq 1.$

为了防止簇数量暴增，对于仅有一个样本的簇（ $|C_{i}|=1$ ），定义其 $s(i)=0$ 。 $a(i)$ 反映了 $i$ 与其所属簇的距离，较小的 $a(i)$ 值说明其与所属簇的关系紧密；而较大的 $b(i)$ 反映了 $i$ 与其他簇关系疏远；故为提高 $s(i)$ （或称为优化聚类结果），我们需要使 $a(i)\ll b(i)$ ^[2]。