ECT理论-牛顿引力理论

$L={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})$

其中 ${\vec {v}}$ —粒子速度， $\varphi ({\vec {x}})$ —牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理 $\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt=0$ 决定：

0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt

=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \left({\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})\right)}dt

=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {v}}-m\delta \varphi ({\vec {x}})\right)}dt

=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot {\frac {d\delta {\vec {x}}}{dt}}-m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt

=m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}|_{t1}^{t2}-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot \delta {\vec {x}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt

=-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\right)}\cdot \delta {\vec {x}}dt

因此有： $m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0$ 即： ${\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})$ ，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动，则拉格朗日量变为：

$L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})\right)dV}$

其中： $\rho$ —流体质量密度， $dV$ —体积元。牛顿引力场本身的拉格朗日量为：

${{L}_{g}}=\int {\left(-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

同时考虑引力场和无压理想流体，其总拉格朗日量为：

$L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

为了得到引力场的运动方程，只对 $\varphi ({\vec {x}})$ 取变分我们有：

0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta Ldt}

=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}

=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi )\right)dV}dt}

=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi )\right)dV}dt}

=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi )\right)dV}dt}

=\int \limits _{t1}^{t2}{\int \limits _{\Sigma }{\left(-{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\right)}+\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi \right)dV}dt}

，其中

\Sigma

-包围体积V的边界

=\int {\left(-\rho +{\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi \right)\delta \varphi ({\vec {x}})dV}dt

因此有引力场运动方程 ${{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho$ 。这样，我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为：

$\not {L}={\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$

按照分析力学原理，我们有守恒量---哈密顿量（其中： ${\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ）为：

{\begin{aligned}&H=\int {\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {{v}_{i}}}}}+{\dot {\varphi }}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {\dot {\varphi }}}}-\not {L}\right)}dV\\&=\int {\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{v}_{i}}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV}\\&\mathop {} ^{}+\int {{\dot {\varphi }}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\varphi }}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&\mathop {} ^{}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left(\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\right)dV}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+\rho \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}

其中 $\rho \varphi ({\vec {x}})$ 代表理想流体与引力场的相互作用能，可以将它归为理想流体的能量，也可以把它归为引力场的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出： $\rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi$ ，代入上式得：

{\begin{aligned}&H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}

=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+{\frac {1}{4\pi G}}\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}

其中： $\Sigma$ 为包围体积V边界。体积V是全空间。一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 $\varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{r}^{3}}})$ ， $d{\vec {S}}\to O({{r}^{2}})$ ，其积 $\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}})$ ，因此 $\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0$ .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：

$H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

在分析力学中我们称哈密顿量为能量，因此又可写为：

$E=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

哈密顿量是守恒量即 ${\frac {dH}{dt}}=0$ 也即 ${\frac {dE}{dt}}=0$ 。从上面的结果我们看到： ${\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$ 代表理想流体的动能密度 ${{T}_{m}}$ ， ${\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$ 代表引力能密度 ${{T}_{g}}$ ，这时我们看到总能量密度是 $\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}$ ，引力能贡献的是负能。当然，如果将相互作用能归为理想流体的能量，则引力能贡献的是正能，数值仍然是 ${{T}_{g}}$ 。返回