K类函数

${\mathcal {K}}$类函数（Class kappa function）也称为是在控制理论中判断非自治系统（nonautonomous system）是否稳定时会用到的一类函数，会将其他函数和${\mathcal {K}}$类函数比较，以确认系统的稳定性。

连续函数$\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$若满足以下条件，则属于${\mathcal {K}}$类函数：

• 函数严格递增。
• 函数满足$\alpha (0)=0$。

连续函数$\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$若满足以下条件，则属于${\mathcal {K}}_{\infty }$类函数：

• 函数属于${\mathcal {K}}$类函数。
• 函数的定义域范围可以到无限大，$a=\infty$.
• 函数满足$\lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty$.

若一非递减的正定函数$\beta$满足所有${\mathcal {K}}$类（或${\mathcal {K}}_{\infty }$类）函数的条件，只有严格递增条件不满足，可以用以下的方式让此函数的上下界用${\mathcal {K}}$类（或${\mathcal {K}}_{\infty }$类）函数来表示：

$\beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,$

${\mathcal {KL}}$类函数

连续函数$\beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$若满足以下条件，则属于${\mathcal {KL}}$类函数：

• 对于每一个固定的$s$，函数$\beta (r,s)$属于${\mathcal {K}}$类函数
• 对于每一个固定的$r$，函数$\beta (r,s)$会随着$s$递减，而且当$s\rightarrow \infty$时，$\beta (r,s)\rightarrow 0$。

参考资料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.