一元布林代數

抽象代數中,一元布林代數是帶有如下標識(signature)的代數結構

<A, ·, +, ', 0, 1, ∃> 有 <2,2,1,0,0,1>,

這裡的 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布林代數

字首一元算子 ∃ 指示存在量詞,它滿足恆等式:

  1. ∃0 = 0
  2. xx
  3. ∃(x + y) = ∃x + ∃y
  4. xy = ∃(xy).

xx 的「存在閉包」。對偶於 ∃ 的是一元算子 ∀,它是全稱量詞,定義為 ∀x := (∃x' )'。

一元布林代數有對偶公式,取 ∀ 為原始,把 ∃ 定義為 ∃x := (∀x ' )' 。所以對偶的代數有標識 <A, ·, +, ', 0, 1, ∀>,帶有 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布林代數。此外,∀ 滿足上面恆等式的對偶版本:

  1. ∀1 = 1
  2. xx
  3. ∀(xy) = ∀xy
  4. x + ∀y = ∀(x + ∀y).

xx 的「全稱閉包」。

討論

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一元布林代數與拓撲學有重要聯絡。如果 ∀ 被解釋為拓撲學的內部算子,上面的(1)-(3)公理加上公理 ∀(∀x) = ∀x 建成了內部代數的公理。但是 ∀(∀x) = ∀x 不能從 (1)-(4) 來證明。此外,一元布林代數的另一個可供選擇的公理化組成自(重解釋的)內部代數的公理加上 ∀(∀x)' = (∀x)' (Halmos 1962: 22)。所以一元布林代數是半單純的內部/閉包代數使得:

一元布林代數的更簡潔的公理化是上述 (1) 和 (2) 加上 ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y (Halmos 1962: 21)。這個公理化模糊了與拓撲學的聯絡。

一元布林代數形成了一個。它們對應一元謂詞邏輯,而布林代數對應於命題邏輯,而多元代數對應於一階邏輯Paul Halmos 在研究多元代數的時候發現了一元布林代數;Halmos (1962) 再版了相關的論文。

一元布林代數還與模態邏輯有重要聯絡。模態邏輯 S5,被看作 S4 中一個理論,是一元布林代數的模型,如同模態邏輯 S4 是內部代數的模型。類似的,一元布林代數為 S5 提供了代數語意。所以 S5-代數是一元布林代數的同義詞。

參見

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參照

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  • Paul Halmos,1962. Algebraic Logic. New York: Chelsea.
  • ——and Steven Givant, 1998. Logic as Algebra. Mathematical Association of America.