微分均值定理分為羅爾均值定理、拉格朗日均值定理和柯西均值定理,內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線,兩端點之中必然有一點,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。
當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
如果函數 滿足
- 在閉區間 上連續;
- 在開區間 內可導;
- 在區間端點處的函數值相等,即 ,
那麼在 內至少有一點 ,使得 。這個定理稱為羅爾定理。
令 為閉區間 上的一個連續函數,且在開區間 內可導,其中 。那麼在 上存在某個 使得
-
此定理稱為拉格朗日均值定理,也簡稱均值定理,是羅爾均值定理的更一般的形式,同時也是柯西均值定理的特殊情形。
這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 在 連續,且在開區間 內對任意一點 ,極限
-
存在,為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限,則極限等於 。這版本定理應用的一個例子是函數 ,實值三次方根函數,其導數在原點趨於無窮。
注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數,則上面這定理就未必正確。例如,對實數 定義 。那麼
-
因 時, 為開區間 中任意一點。
柯西均值定理,也叫拓展均值定理,是均值定理的一般形式。它敘述為:如果函數 f 和 g 都在閉區間[a,b] 上連續,且在開區間 (a,b) 上可微,那麼存在某個 c ∈ (a,b),使得
-
當然,如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0,則可表示成:
-
在幾何上,這表示曲線
-
上存在一點其切線平行於由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在,因為可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
-
在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線,然而它在 t = 0處有一個駐點(實際上是一個尖點)。
柯西均值定理可以用來證明羅必達法則。(拉格朗日)均值定理是柯西均值定理當g(t) = t時的特殊情況。
積分均值定理分為積分第一均值定理和積分第二均值定理,它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等(嚴格表述在下面)。
設 為一連續函數, 要求 是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點 使得
- 。
在不失去一般性的條件下,設對所有 ,有 ;
因為 是閉區間上的連續函數, 取得最大值 和最小值 。於是
- 。
對不等式求積分,我們有
- 。
若 ,則 。 可取 上任一點。
若不等於零那麼 ,
- 。
因為 是連續函數,根據中間值定理,則必存在一點 ,使得
- 。
的情況按同樣方法證明。
在上式中令 ,則可得出:
設 為一連續函數,則∃ ,使
-
它也可以由拉格朗日均值定理推出:
設 在 上可導, ,則∃ ,使
-
積分第二均值定理與積分第一均值定理相互獨立,卻又是更精細的積分均值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。
若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調,則存在[a,b]上的點ξ使
- ;
令g(x)=1,則原公式可化為:
- ;
進而導出:
- ;
此時易得其幾何意義為:
能找到ξ∈[a,b],使得S[紅]+S[藍]=S[陰影],即S[I]=S[II]
關於積分均值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號,或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數,從而使問題簡化。