交叉熵

在資訊理論中，基於相同事件測度的兩個概率分布$p$和$q$的交叉熵（英語：Cross entropy）是指，當基於一個「非自然」（相對於「真實」分布$p$而言）的概率分布$q$進行編碼時，在事件集合中唯一標識一個事件所需要的平均比特數（bit）。

給定兩個概率分布$p$和$q$，$p$相對於$q$的交叉熵定義為：

$H(p,q)=\operatorname {E} _{p}[-\log q]=H(p)+D_{\mathrm {KL} }(p\|q),\!$

其中$H(p)$是$p$的熵，$D_{\mathrm {KL} }(p\|q)$是從$p$與$q$的KL散度(也被稱為p相對於q的相對熵)。

對於離散分布$p$和$q$，這意味著：

$H(p,q)=-\sum _{x}p(x)\,\log q(x).\!$

對於連續分布也是類似的。我們假設$p$和$q$在測度 $r$上是絕對連續的(通常 $r$是Lebesgue measure on a Borel σ-algebra)。設$P$和$Q$分別為$p$的$q$在測度 $r$上概率密度函數。則

$-\int _{X}P(x)\,\log Q(x)\,dr(x)=\operatorname {E} _{p}[-\log Q].\!$

源起

在資訊理論中, 以直接可解編碼模式通過值$x_{i}$編碼一個信息片段，使其能在所有可能的$X$集合中唯一標識該信息片段，Kraft–McMillan theorem確保這一過程可以被看作一種$X$上的隱式概率分布$q(x_{i})=2^{-l_{i}}$，從而使得$l_{i}$是$x_{i}$的編碼位長度。 因此, 交叉熵可以看作每個信息片段在錯誤分布$Q$下的期望編碼位長度，而信息實際分布為$P$。這就是期望${E}_{p}$是基於$P$而不是$Q$的原因。

$H(p,q)=\operatorname {E} _{p}[l_{i}]=\operatorname {E} _{p}\left[\log {\frac {1}{q(x_{i})}}\right]$

$H(p,q)=\sum _{x_{i}}p(x_{i})\,\log {\frac {1}{q(x_{i})}}\!$

$H(p,q)=-\sum _{x}p(x)\,\log q(x).\!$

估計

在大多數情況下，我們需要在不知道分布$p$的情況下計算其交叉熵。例如在語言模型中, 我們基於訓練集$T$創建了一個語言模型, 而在測試集合上通過其交叉熵來評估該模型的準確率。$p$是語料中詞彙的真實分布，而$q$是我們獲得的語言模型預測的詞彙分布。由於真實分布是未知的，我們不能直接計算交叉熵。在這種情況下，我們可以通過下式來估計交叉熵:

$H(T,q)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{N}}\log _{2}q(x_{i})$

$N$是測試集大小，$q(x)$是在訓練集上估計的事件$x$發生的概率。我們假設訓練集是從$p(x)$的真實採樣，則此方法獲得的是真實交叉熵的蒙特卡洛估計。

參考資料

• de Boer, Pieter-Tjerk; Kroese, Dirk P.; Mannor, Shie; Rubinstein, Reuven Y. A Tutorial on the Cross-Entropy Method (PDF) (pdf) 134 (1). February 2005: 19–67 [2018-02-02]. ISSN 1572-9338. doi:10.1007/s10479-005-5724-z. （原始內容存檔 (PDF)於2016-10-26）.