傑恩斯-卡明斯模型

傑恩斯-卡明斯模型(Jaynes–Cummings model (JCM))是一個量子光學的理論模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型,這種交互作用和光子的存在與否無關(在電磁輻射能造成光子自發性的放射吸收)。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

傑恩斯-卡明斯模型。圓圈內展示了光子發射吸收

公式

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系統哈密頓量

 

由自由場哈密頓量,原子激發態哈密頓量,JCM哈密頓量組成:

 

為方便起見,設真空場能量為  .

其中:

  •  場運算符,目的是把量化輻射場轉化為玻色子的模型,另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
    •  是玻色子的創生算符
    •   是玻色子的湮滅算符
  •  是原子耦合區的偏振運算符
  •    是原子的階梯算符
  •   是原子反轉運算
  •  是原子的躍遷頻率
  •   是模型的角頻率

JCM哈密頓量

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通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame)) ,使得 ,可以得到:

 

這個哈密頓量同時包含了兩個部分:

  •   是快速震蕩,
  •   是慢速震蕩。

為了求解這個方程,簡化模型是再所難免的。注意到,當   的時候,快速振盪的 「反向旋轉」項(也就是快速震蕩項)可被忽略,這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景,JCM哈密頓量就變成了:

 

其中,

  •  是原子場的耦合常數,
  •  是原子躍遷時刻,
  •  是腔模的體積。

本徵態

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一般情況下,將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

 

其中,

 

  稱之為場與雙態系統的失諧量(頻率)。

為了更好地求解哈密頓量,把 本徵態轉換成張量積   ,表示模型中輻射量子的數量。)

對位任意正整數n,狀態  與狀態  會退化為   足以在子空間 對角化。  的元素屬於 的子空間,表示為:

 

對於任意正整數n,能量本徵態 為:

 

其中, 拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態  特徵值是:

 
 

其中, 

薛丁格繪景動量

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為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態  ,若置一激發態原子於場內,則系統初態為:

 

其中   是該系統的定態, 含時狀態向量是:

 

相互作用繪景動量

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可以直接通過海森堡記法(Heisenberg notation)來確定么正演化算符(unitary evolution operator) :[1]

 

其中,定義算符 

 

 的么正(unitary )被恆等定義:

 
 

么正算符可以計算被密度矩陣 所描述的含時系統狀態的演變,么正算符包含了所有可觀測量。給定初態 ,則有:

 
 
其中,  是表示可觀測量的算符。

量子震盪的崩塌和復興

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原子反轉的量子震盪圖像(二次反比失諧參數  , 其中 是失諧參數),基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式[2]

參考資料

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  1. ^ S. Stenholm, "Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules", Physics Reports, 6(1), 1-121 (1973).
  2. ^ A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba. A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model. J. Phys. A: Math. Theor. 2009, (42): 195304, 16. Bibcode:2009JPhA...42s5304K. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304. 

參考文獻

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延伸閱讀

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  • C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.