公理系統

數學上，一個公理系統（英語：axiomatic system，或稱公理化系統，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以一併用來邏輯地導出定理。一個數學理論由一個公理系統和所有它導出的定理組成。一個完整描述出來的公理系統是形式系統的一個特例；但是通常完全形式化的努力僅帶來在確定性上遞減的收益，並讓人更加難以閱讀。所以，公理系統的討論通常只是半形式化的。一個形式化理論通常表示一個公理系統，例如在模型論中表述的那樣。一個形式化證明是一個證明在形式化系統中的表述。

性質

一個公理系統稱為自洽（或稱相容、一致），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時導出一個命題及其否定的能力。

在一個公理系統中，一個公理被稱為獨立的，若它不是一個從系統的其它公理可以導出的定理。一個系統稱為獨立的，若它的每個公理都是獨立的。

雖然獨立性不是一個系統的必要需求，自洽性卻是必要的。

若一個公理系統中，每個命題及其否定命題中至少有一方可被證明，則稱該公理系統為完備。

模型

公理系統的數學模型是一個定義良好的集合，它給系統中出現的未定義術語賦予意義，並且是用一種和系統中所定義的關係一致的方式。具體模型^{[註 1]}的存在性能證明系統的自洽性。

模型也可以用來顯示一個公理在系統中的獨立性。通過構造除去一個特定公理的子系統的有效模型，我們表明該省去的公理是獨立的，若它的正確性不可以從子系統得出。

兩個模型被稱為同構，如果它們的元素可以建立一一對應，並且以一種保持它們之間的關係的方式。一個其每個模型都同構於另一個的公理系統稱為範疇式的，而可範疇化的性質保證了系統的完備性。

第一個被提出的公理系統是歐氏幾何。

公理化方法

公理化方法經常被作為一個單一的方法或著一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數學和哲學中古希臘數學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發展）的最高標準這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。

這個傳統的方法中，公理被假設為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨著非歐幾何的發展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的「新」用途而發生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理被明確地提出（例如，逆元必須存在），該課題就可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。

所以，現在在數學以及它所影響的領域中，至少有3種「模式」的公理化方法。調皮地說，可能的態度有：