共線方程

共線方程也稱共線條件方程式，是應用於攝影測量與遙感中描述目標點與其相應像點及投影中心三點共線的數學方程。

如右圖所示，P為任意目標點，其在某一規定的坐標系的坐標為$x_{P},y_{P},z_{P}$，P'為相應的像點，其在坐標系中的坐標為$x,y,z$，C為投影中心，坐標為$x_{0},y_{0},z_{0}$，據傳感器平面的距離為$c$。攝影時，P'、C、P三點位於一條直線上，可得出以下關係：

${\frac {x-x_{0}}{x_{0}-x_{P}}}={\frac {y-y_{0}}{y_{0}-y_{P}}}={\frac {-c}{z_{0}-z_{P}}}$

即

$x-x_{0}=-c\ {\frac {x_{P}-x_{0}}{z_{P}-z_{0}}}$

$y-y_{0}=-c\ {\frac {y_{P}-y_{0}}{z_{P}-z_{0}}}$

設點P的地面坐標為$X,Y,Z$，投影中心的地面坐標為$X_{0},Y_{0},Z_{0}$。因為空間直角坐標的變換是正交變換，一個坐標系按某種順序依次地旋轉三個角度即可變換為另一個同原點的坐標系，這種變換被稱為攝像機變換。於是代入方向餘弦3×3-矩陣 R 可得

$x_{P}-x_{0}=R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})$

$y_{P}-y_{0}=R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})$

$z_{P}-z_{0}=R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})$

代入上式就可以得到共線方程的一般形式:

$x-x_{0}=-c\ {\frac {R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

$y-y_{0}=-c\ {\frac {R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}$

式中，$x,y$為像點的像平面坐標；$x_{0},y_{0},c$為像片的內方位元素；$X,Y,Z$為對應地面點的地面坐標；$X_{0},Y_{0},Z_{0}$為投影中心的地面坐標，$R_{ii}$（i=1,2,3）為影像的3個外方位角元素組成的9個方向餘弦矩陣。