出入相補
出入相補（又稱以盈補虛）積是古中國數學中一條用於推證幾何圖形的面積或體積的基本原理。其內容有四；
- 一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積或體積維持不變=所有小圖形面積或體積之和。
- 一個幾何圖形，可以任意旋轉，倒置、移動、複製，面積或體積不變。
- 多個幾何圖形，可以任意拼合，總面積或總體積不變。
- 幾何圖形與其複製圖形拼合，總面積或總體加倍。
出入相補原理最早由三國時代魏國數學家劉徽創建。「勾股各自乘，並，而開方之，即弦。勾自乘為朱方，股自乘為青方，另出入相補，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」[1]
等腰三角形面積 編輯
- 《九章算術·方田》第25問：「今有圭田，廣十二步，正縱二十一步。問為田幾何？
- 答曰：一百二十六步。」
- 《九章算術·方田》第26問：「又有圭田，廣五步二分步之一，縱八步三分步之二。問：為田幾何？」
- 答曰：二十三步六分步之五。
- 術曰：半廣以乘正縱。
圭田指等腰三角形田。《九章算術》給出求圭田面積的公式：
圭田面積=半廣以乘正縱。半廣=等腰三角形底長之半，正縱指等腰三角形的高。
- 等腰三角形面積= x 等腰三角形底長x等腰三角形的高。
劉徽從出入相補予以證明：
劉徽注曰：半廣者以盈補虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱，以取中平之數。故廣縱相乘為積步。
如圖ABC 為等腰三角形田，BC 為等腰三角形底寬(廣)，DC 為 半廣 = ，AD 為等腰三角形的高(正縱)。
以盈補虛為直田：將三角形ABC按中線等分為兩個相等的三角形ABD,ADC。將實三角形ABD 經平移和1800 轉動，填補虛三角形ADC，成為一個長方形AECD。三角形ABC的面積=長方形AECD的面積=DC（半廣） x AD（正縱）。 圭田面積=半廣以乘正縱=DC x AD。
第二法：從三角形ABC底線作長方形BCFE，其高度BE= 三角形高度AD/2。從三角形頂點A作垂直平分線AD，與長方形頂線EF相交於M點。將盈三角形AML移動,補上虛三角形CFL，將盈三角形AMK移動，補上虛三角形BEK，即得實長方形EFCB。所以三角形ABC的面積=長方形EFCB面積=半正縱以乘廣。
任意三角形面積 編輯
如圖三角形ABC底長為L，高為H,求三角形面積。
- 從B點畫垂直線BD，將三角形ABC切割成兩個直角三角形ABD、BCD
- 複製三角形ABD為ABE，倒置其上：
- 複製三角形BCD為BCF，倒置其上：
- 長方形ACFE面積=三角形1，2，3，4之和，
- 但三角形3面積=三角形1面積，三角形4面積=三角形2面積，
- 所有長方形ACFE面積=HxL=2X(三角形1+三角形2)=2X三角形ABC，
- 所有三角形ABC面積= HxL/2。
直角梯形面積 編輯
《九章算術·方田》第27問
- 今有邪田一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正縱六十步。問，為田幾何？
- 答曰：九畝一百四十四步
- 《九章算術·方田》第28問：
- 又有邪田，正廣六十五步，一畔縱一百步，一畔縱七十二步。問，為田幾何？
- 答曰：二十三畝七十步。
- 術曰：並兩邪而半之，以乘正縱若廣。又可半正縱若廣，以並，畝法而一。
邪田即斜田，即一邊直角一邊斜的梯田。如圖邪田ABCD。求面積時將兩個邪田合併，成為一個長方形GBHD，從長方形正中作垂直線平分EF，將長方形等分為二。將盈三角形MCF移補虛三角形MAE，得實長方形EBFD。
由於以盈補虛，邪田ABCD面積=長方形EBFD面積=邪田正縱x(邪田上邊長度+邪田下邊長度)/2。
第二種方法：「又可半正縱若廣，以並」：在邪田正縱中點作平行線EF；將上半部ABEF與下半步EFCD合併，成為長方形。
邪田ABCD面積=長方形GFDB面積=(AB+CD)*FD=(AB+CD)*BD/2。
梯形面積 編輯
《九章算術方田》第29問：
- 今有箕田，舌廣二十步，踵廣五十步，正縱一百三十五步。問：為田幾何？
- 答曰：四十六畝二百三十二步半。
- 術曰：並踵舌而半之，以乘正縱。畝法而一。
- 劉徽注曰：中分箕田則為兩邪田，故其術相似。又可並踵舌，半正踵以乘之。
箕田即正梯形田。 第一法： 將梯田ABCD就正中線截為兩個邪田EBDF和AECF，將AECFD倒轉移動到右邊，與EBDF合併成為長方形EF'E'F。梯田ABCD面積=長方形EF'E'F面積=((梯田上邊長度+梯田下邊長度)/2) X 梯田高度。
第二法：將梯田ABCD就半高處作水平線EF，將ABCD截為兩個梯形ABFE，EFDC。將上截ABFED倒轉，和EFDC合併為四邊形EE'AC，再從左邊截出三角形ECG，移動到右邊，並成長方形EE'G'G。 梯田ABCD面積=長方形EE'G'G面積=(梯形上邊長度+梯形下邊長度) * 梯形高度之半。
內接正十二邊形面積 編輯
劉徽計算圓形內接正十二邊形面積的公式：「以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪」。
如圖 BC為內接正六邊形的一邊，HC為正十二邊形的一邊，圓的半徑為AH。
- 劉徽公式： 以內接六邊形一邊BC 的長度 X 圓的半徑AH X 3=內接正十二邊形面積。
- 如圓半徑=1，則內接正十二邊形面積=3
利用出入相補容易證明劉徽公式。
- 作長方形FGED， 其面積= BC x AH。
- 用三角形AHC補虛三角形AGC，又以三角形CMH補虛三角形CEH，得正方形AGEH，
- 正方形AGEH面積=兩個三角形AHC面積。
- 因此長方形FGED面積=2X 正方形AGEH面積=4X三角形AHC面積。
- 內接正十二邊形面積=12 X三角形AHC 面積 = 3 X 方形FGED面積 =3X 正六邊形邊長 X 半徑。
推廣為 圓內接2N 邊形的面積 = x半徑 x N邊形一邊的長度。
劉徽還計算出半徑一尺圓形內接正96邊形面積=313.9344方寸，內接正192邊形面積=314.1024方寸
梯形立體體積 編輯
《九章算術》卷第五商功：「今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問：積幾何？」
劉徽術文：「並上下廣而半之者，以盈補虛，得中平之廣，以高若深乘之，得一頭之立冪，又以袤乘之，得立實之積。」
參考文獻 編輯
- 吳文俊主編 《中國數學史大系》第三卷 第一章 第二節 劉徽的出入相補原理 146-152；186-189 ISBN 7-303-04557-0/O