分裂引理
在數學中,更準確地是同調代數中,分裂引理(splitting lemma)說在任何阿貝爾範疇中,關於短正合序列的下列陳述是等價的。
給定一個具有映射q 與r 的短正合序列:
我們寫出映射(可能不存在)的箭頭t 與u:
下列陳述是等價的:
- 1.左分裂:存在一個映射t
- B → A 使得tq 是A 的恆等映射;
- 2.右分裂:存在一個映射u
- C → B 使得ru 是C 的恆等映射;
- 3.直和
- B 同構於A 與C 的直和,q 是A 的自然內射而r 是到C 的投影。
如果上述陳述成立,短正合序列成為分裂的。
這使我們可改進第一同構定理:
- 這一同構定理說在上述短正合序列中;
- 如果序列分裂則,而第一同構定理恰是到C 的投影。
證明
編輯首先證明 (3)蘊含 (1)與 (2)。我們假設 (3)成立,取t 為直和到A 的自然投影,取u 為C 到直和的自然內射。
為了證明 (1)蘊含 (3),首先注意到B 中任何元素屬於集合 (ker t + im q)。這是因為對B 中任意b,b = (b - qt(b)) + qt(b);qt(b)顯然屬於im q,而 (b - qt(b))屬於ker t,因為
- t(b - qt(b))= t(b)- tqt(b)= t(b)- (tq)t(b)= t(b)- t(b)= 0.
然後,im q 與ker t 的交集為{0},因若存在a 屬於A 使得q(a)= b 以及t(b)= 0,則0 = tq(a)= a;從而b = 0。
這就證明了B 是im q 與ker t 的直和。故對所有b 屬於B,b 可以惟一地等同於某個a 屬於A,k 屬於ker t,使得b = q(a)+ k。
由正合性,ker rq = A,故ker r = im q。子序列B → C → 0蘊涵著r 是映上的;從而對任意c 屬於C 存在某個b = q(a)+ k 使得c = r(b)= r(q(a)+ k) = r(k)。故對任意c 屬於C,存在k 屬於ker t 使得c = r(k),以及r(ker t)= C。
如果r(k)= 0,則k 屬於im q;因im q 與ker t 的交集 = {0},則k = 0。從而同態r : ker t → C 的限制是一個同構;且ker t 同構於C。
最後im q 同構於A,因為0 → A → B 的正合性;故B 同構於A 與C 的直和,這就證明了 (3)。
類似地可證明 (2)蘊含 (3)。B 中任何元素屬於集合ker r + im u;因為對所有b 屬於B,b = (b - ur(b)) + ur(b),這屬於in ker r + im u。ker r 與im u 的交集是{0},因若r(b)= 0以及u(c)= b,則0 = ru(c)= c。
由正合性,im q = ker r,以及q 是一個內射,im q 同構於A,故A 同構於ker r。由於ru 是一個雙射,u 是一個內射,故im u 同構於C。所以B 是A 與C 的直和。
非阿貝爾群
編輯這裡所述的形式,分裂引理在全群範疇中不成立,它不是一個阿貝爾範疇。
部分真
編輯它是部分真的:如果一個群短正合序列是左分裂或是直和(條件1或3),則所有條件成立。對直和這是清楚的,因為直和給出的內射與投影。對一個左分裂序列,映射 給出一個同構,故B 是一個直和(條件3),從而取此同構之逆並與自然內射 複合給出一個分裂t 的內射 (條件2)。
但是如果一個短正合序列是右分裂的(條件2),則未必是左正合的或是直和(條件1或條件3均未必成立):問題是右分裂的像不必是正規的。在此情形B 是一個半直積,一般不是一個直積。
反例
編輯為了構造一個反例,取最小非阿貝爾群 ,三個字母的對稱群。設A 為交錯子群,令 。令q 與r 分別表示包含映射與符號映射,從而
- ,
是一個短正合序列。條件 (3)不成立,因為 不是阿貝爾群。但條件 (2)成立:我們通過將生成元映到任意二階循環定義u: C → B。注意條件 (1)不成立:任何映射t: B → A 必然將任何二階循環映為單位,由拉格朗日定理。但每個置換是兩個循環之乘積,故t 是平凡映射,從而tq: A → A 是平凡映射,而不是恆等。