切比雪夫方程(英語:Chebyshev equation)是指二階線性常微分方程
![{\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c248286311b8dde52dc8621ba12da355e22670ea)
其中p為一實常數。該方程是以俄羅斯數學家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。
方程的解為冪級數
![{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b5e031f87f9e8202a1804c0c565e4ffc564527)
其中係數可通過以下遞推關係式計算:
![{\displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2e2cb7886d26147afa55e65417d0e8901d11d)
級數在
上收斂(對遞推關係式應用比值審斂法可得)。
遞推關係的初值a0與a1可為任意值,由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取為:
- a0 = 1 ; a1 = 0,可得解
![{\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7001398d9094c0b316e6ee54308c1325de46e583)
以及
- a0 = 0 ; a1 = 1,可得解
![{\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1043ceb92a1d418fdbe0e64c0547f7d0a6c6d4c)
通解可表示為以上兩特解的任意線性組合。
當p為整數時,兩個函數中有一個為有限項:p為偶數時F為有限項,反之G為有限項。此時,那個為有限項的函數是一個p次多項式,並與p次切比雪夫多項式成比例:
(p為偶數)
(p為奇數)