割圓連比例是清代級數理論的幾何學基礎,最先由明安圖在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中闡明,其後經董祐誠項名達等數學家的工作而趨於完善。[1]。割圓連比例的中心問題是已知圓弧長度,如何求弦長及矢高,或已知弦長、矢高,如何求得弧長。割圓連比例中心方法是結合由西方傳入的連比例方法,結合傳統中算方法,將圓弧分割成多等分,畫出多條矢,然後構造一系列相似三角形獲得一系列連比例式,再將圓弧分割越細,以折線逼近弧線,求得弧長[2]

歷史背景

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1701年,法國耶穌會傳教士杜德美(Pierre Jartoux 1668年至1720年)來到中國,他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函數無窮級數[3]

 
 
 

這些計算π的「捷法」只涉及乘法和加減運算,速度遠超傳統劉徽割圓術涉及的平方根計算,因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密,於是他著手進行這項工作,前後歷時30年,完成了書稿《割圜密率捷法》,他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數,不僅推出杜德美的三個無窮級數,還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中,他發現和應用卡塔蘭數

連比例

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連比例圖

如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形,於是[4]

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

  • AB為第一率,以 表示
  • BC為第二率,以  表示
  • BC為第二率,以  表示
  • CD為第三率,以  表示
  • DE為第四率,以  表示
  • EF為第五率,以  表示
  • FG為第六率,以  表示
  • ……
  • 第m率: 

於是:

 
 
 
 
 
 

 …… …… 

又:  

明安圖割圓連比例

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圖一 明安圖一弦二矢割圓連比例圖
 
圖二 明安圖發現卡塔蘭數 《割圜密率捷法》卷三

由二分弧通弦率數求全弧通弦率數法

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如圖BCD為全弧,AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1;BD為通弦,BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此,

 [5]

作EJ=EF,FK=FJ;延長BE直線至L,並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M,並BF=MF;連LM,顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G,L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI;顯然BI=BC。

 

作CG之平分線BM,並令BM=BC;連GM、CM;作CO=CM交BM於O;作MP=MO;作NQ=NR,R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;  ∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形:ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:[6]

  • 連比第一率:AB=AC=AD=AE
  • 連比第二率:BE=BC=BF=C
  • 連比第三率:EF=CM
  • 連比第四率:FJ
  • 連比第五率:JK=OP

 

1:BE=BE:EF;即 


 

於是 ,

 


因為 風箏形ABEC 與BLIN相似,[6]

 

 

  
 
 


 
 
 

由此得  

 ,代人p值得:

 ,於是

 
上式平方之,兩邊除以16:[7]
 
 

依次類推

 [8]

將下列二式相加,可以消去 項:

 
 
 
同理
 ,

.......

 

展開式各項分子的係數 1,1,2,5,14,42,132……(見圖二 明安圖原圖最後一行,由右至左讀)乃是卡塔蘭數,明安圖是發現此數的世界第一人[9]

因而得到:

 [10][11]

其中

 明安圖-卡塔蘭數

明安圖利用他首創的遞推關係[12]
 

 

 

代人 

最後得到[13]

 

 

三角學意義

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在圖一中令BAE角=α,BAC角=2α

  • x=BC=sinα
  • q=BL=2BE=4sin(α/2)
  • BD=2sin(2α)

明安圖獲得的  

就是
 
 

 

 

由三分弧通弦率求全弧通弦率

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明安圖割圓密率三分弧

如圖,BE為全弧通弦,BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC;作BG、EH=BC,Bδ=Eα=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ;又三角形Cαβ與三角形BδD相似。

因此:  , 

 

 

 

依次類推,最後得:

 [14][15]

四分弦

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四分弦

 +……

 [16]
幾何意義:

    [17]

五分弦

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五分弦

 

幾何意義:
 [18]

十分弦

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十分弦圖

從十分弦開始,明安圖不再作幾何模型,而是對無窮級數進行代數運算

顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合,即

 

 ;

展開即得:


 +……[19]

百分弧

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同理,

 ,展開後即得:

 ……[20]

千分弧

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 ……[20]

萬分弦

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 …………[21]

弧背求通弦

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y100,y1000 and y10000 可表為[22]:

 ..........

 ..............

 ..................

分弦數越大,分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ;當分弦數n趨向無窮大, n*a, 就變成 弧背,於是[23]

令c 為弦,a 為弧背,

 .....

 

通弦求弧背

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明安圖求得上述無窮級數的反逆,將弧表示為弦的無窮級數[23][24]:

 ............

正弦的無窮級數展開

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 ,

令 r=1

 …………

 [25]

參考文獻

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  1. ^ 吳文俊 477頁
  2. ^ 徐傳勝 143
  3. ^ 何紹庚,《清代無窮級數研究中的一個關鍵問題》《自然科學史研究》第6卷第3期1989年第 205-214
  4. ^ 李儼 《中算史論叢》 第三集 《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷 第297-299頁
  5. ^ 李儼 《中算史論叢》 第三集 《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷 第300頁
  6. ^ 6.0 6.1 羅見今 96頁
  7. ^ 羅見今 100頁
  8. ^ 羅見今 106頁
  9. ^ 羅見今 《明安圖和他的冪級數展開式》數學傳播34卷1期, pp. 65-73
  10. ^ 羅見今 113頁
  11. ^ Yan Xue-min Luo Jian-jin, Catalan Numbers, A Geometric Model J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2, Jun 2006, p22
  12. ^ 羅見今 114頁
  13. ^ 羅見今 114頁
  14. ^ Yoshio Mikami p147
  15. ^ 羅見今 148頁
  16. ^ 羅見今 153頁
  17. ^ 羅見今 153頁
  18. ^ 羅見今 156頁
  19. ^ 羅見今 164頁
  20. ^ 20.0 20.1 李儼 320頁
  21. ^ Yoshio Mikami, p147
  22. ^ 羅見今 209-225頁
  23. ^ 23.0 23.1 Yoshio Mikami, p148
  24. ^ 羅見今 226-260
  25. ^ 李儼 327頁
  • 明安圖原著 羅見今譯註 《割圓密率捷法譯註》內蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
  • Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
  • 李儼 《中算史論叢》 第三集 《明清算家的割圓術研究》《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷