卡克托維克數字

卡克托維克數字（英語：Kaktovik numerals）是一個由阿拉斯加州因紐皮雅特人創造的二十進制記數系統。它們具有象似性，形狀表示所代表的數字。

卡克托維克數字的20個數字

阿拉斯加州的所有愛斯基摩－阿留申語系語言和伊努皮克語，它們的計數系統都採用二十進制。人們熟悉的十進制阿拉伯數字不適用於伊努皮克語和其他因努伊特語言。為了解決這個問題，阿拉斯加州卡克托維克的學生們於1994年發明了一個記數系統，，現在在因紐皮雅特人中廣為流傳，被加拿大考慮使用。

圖片顯示卡克托維克數字0至19。更大的數字由這些數字以進位制組成：二十寫作一個一和一個零（𝋁𝋀），四十寫作一個二和一個零（𝋂𝋀），四百寫作一個一和兩個零（𝋁𝋀𝋀），八百寫作一個二和兩個零（𝋂𝋀𝋀），如此類推。

數字的相應口語（書寫）形式為：

0	1	2	3	4
	atausiq	malġuk	piŋasut	sisamat
5	6	7	8	9
tallimat	itchaksrat	tallimat malġuk	tallimat piŋasut	quliŋuġutaiḷaq
10	11	12	13	14
qulit	qulit atausiq	qulit malġuk	qulit piŋasut	akimiaġutaiḷaq
15	16	17	18	19
akimiaq	akimiaq atausiq	akimiaq malġuk	akimiaq piŋasut	iñuiññaŋŋutaiḷaq
20
iñuiññaq

系統

伊努皮克語，像其他因努伊特語言一樣，有一個二十進制和次底數為五的記數系統。也就是說，數量以二十記數（如法語和丹麥語），而5、10和15有自己的中間數。因此78會被視作「三個二十加十五和三」。

卡克托維克數字的圖形反映伊努皮克語記數系統的詞語結構。例如，在伊努皮克語裡，數字七叫做tallimat malġuk（五和二），而七的卡克托維克數字由一個上粗線（五）和兩個下粗線（二）組成：𝋇。同樣地，十二和十七分別叫qulit malġuk（十和二）和akimiaq malġuk（十五和二），而它們的卡克托維克數字分別為兩個和三個上粗線（十和十五），加上兩個下粗線：𝋌、𝋑。

數值

表格中列出在個位左右側三個位的卡克托維克數字的十進制數值。

卡克托維克數字的十進制數值

n	n×20³	n×20²	n×20¹	n×20⁰	n×20⁻¹	n×20⁻²	n×20⁻³
1	𝋁,𝋀𝋀𝋀 8,000	𝋁𝋀𝋀 400	𝋁𝋀 20	𝋁 1	𝋀.𝋁 0.05	𝋀.𝋀𝋁 0.0025	𝋀.𝋀𝋀𝋁 6996125000000000000♠0.000125
2	𝋂,𝋀𝋀𝋀 16,000	𝋂𝋀𝋀 800	𝋂𝋀 40	𝋂 2	𝋀.𝋂 0.1	𝋀.𝋀𝋂 0.005	𝋀.𝋀𝋀𝋂 6996250000000000000♠0.00025
3	𝋃,𝋀𝋀𝋀 24,000	𝋃𝋀𝋀 1,200	𝋃𝋀 60	𝋃 3	𝋀.𝋃 0.15	𝋀.𝋀𝋃 0.0075	𝋀.𝋀𝋀𝋃 6996375000000000000♠0.000375
4	𝋄,𝋀𝋀𝋀 32,000	𝋄𝋀𝋀 1,600	𝋄𝋀 80	𝋄 4	𝋀.𝋄 0.2	𝋀.𝋀𝋄 0.01	𝋀.𝋀𝋀𝋄 6996500000000000000♠0.0005
5	𝋅,𝋀𝋀𝋀 40,000	𝋅𝋀𝋀 2,000	𝋅𝋀 100	𝋅 5	𝋀.𝋅 0.25	𝋀.𝋀𝋅 0.0125	𝋀.𝋀𝋀𝋅 6996625000000000000♠0.000625
6	𝋆,𝋀𝋀𝋀 48,000	𝋆𝋀𝋀 2,400	𝋆𝋀 120	𝋆 6	𝋀.𝋆 0.3	𝋀.𝋀𝋆 0.015	𝋀.𝋀𝋀𝋆 6996750000000000000♠0.00075
7	𝋇,𝋀𝋀𝋀 56,000	𝋇𝋀𝋀 2,800	𝋇𝋀 140	𝋇 7	𝋀.𝋇 0.35	𝋀.𝋀𝋇 0.0175	𝋀.𝋀𝋀𝋇 6996875000000000000♠0.000875
8	𝋈,𝋀𝋀𝋀 64,000	𝋈𝋀𝋀 3,200	𝋈𝋀 160	𝋈 8	𝋀.𝋈 0.4	𝋀.𝋀𝋈 0.02	𝋀.𝋀𝋀𝋈 0.001
9	𝋉,𝋀𝋀𝋀 72,000	𝋉𝋀𝋀 3,600	𝋉𝋀 180	𝋉 9	𝋀.𝋉 0.45	𝋀.𝋀𝋉 0.0225	𝋀.𝋀𝋀𝋉 6997112499999999999♠0.001125
10	𝋊,𝋀𝋀𝋀 80,000	𝋊𝋀𝋀 4,000	𝋊𝋀 200	𝋊 10	𝋀.𝋊 0.5	𝋀.𝋀𝋊 0.025	𝋀.𝋀𝋀𝋊 6997125000000000000♠0.00125
11	𝋋,𝋀𝋀𝋀 88,000	𝋋𝋀𝋀 4,400	𝋋𝋀 220	𝋋 11	𝋀.𝋋 0.55	𝋀.𝋀𝋋 0.0275	𝋀.𝋀𝋀𝋋 6997137499999999999♠0.001375
12	𝋌,𝋀𝋀𝋀 96,000	𝋌𝋀𝋀 4,800	𝋌𝋀 240	𝋌 12	𝋀.𝋌 0.6	𝋀.𝋀𝋌 0.03	𝋀.𝋀𝋀𝋌 6997150000000000000♠0.0015
13	𝋍,𝋀𝋀𝋀 104,000	𝋍𝋀𝋀 5,200	𝋍𝋀 260	𝋍 13	𝋀.𝋍 0.65	𝋀.𝋀𝋍 0.0325	𝋀.𝋀𝋀𝋍 6997162500000000000♠0.001625
14	𝋎,𝋀𝋀𝋀 112,000	𝋎𝋀𝋀 5,600	𝋎𝋀 280	𝋎 14	𝋀.𝋎 0.7	𝋀.𝋀𝋎 0.035	𝋀.𝋀𝋀𝋎 6997175000000000000♠0.00175
15	𝋏,𝋀𝋀𝋀 120,000	𝋏𝋀𝋀 6,000	𝋏𝋀 300	𝋏 15	𝋀.𝋏 0.75	𝋀.𝋀𝋏 0.0375	𝋀.𝋀𝋀𝋏 6997187500000000000♠0.001875
16	𝋐,𝋀𝋀𝋀 128,000	𝋐𝋀𝋀 6,400	𝋐𝋀 320	𝋐 16	𝋀.𝋐 0.8	𝋀.𝋀𝋐 0.04	𝋀.𝋀𝋀𝋐 0.002
17	𝋑,𝋀𝋀𝋀 136,000	𝋑𝋀𝋀 6,800	𝋑𝋀 340	𝋑 17	𝋀.𝋑 0.85	𝋀.𝋀𝋑 0.0425	𝋀.𝋀𝋀𝋑 6997212500000000000♠0.002125
18	𝋒,𝋀𝋀𝋀 144,000	𝋒𝋀𝋀 7,200	𝋒𝋀 360	𝋒 18	𝋀.𝋒 0.9	𝋀.𝋀𝋒 0.045	𝋀.𝋀𝋀𝋒 6997224999999999999♠0.00225
19	𝋓,𝋀𝋀𝋀 152,000	𝋓𝋀𝋀 7,600	𝋓𝋀 380	𝋓 19	𝋀.𝋓 0.95	𝋀.𝋀𝋓 0.0475	𝋀.𝋀𝋀𝋓 6997237500000000000♠0.002375

起源

阿拉斯加州地圖中的北坡自治市鎮，許多伊努皮克語說話者都居住於此

1990年代初，阿拉斯加州卡克托維克的Harold Kaveolook學校的一個數學充實活動中，學生們注意到他們的語言使用了一個二十進制系統，當他們使用阿拉伯數字寫數字或做算術時，他們的符號不夠，寫不到伊努皮克語數字。學生們首先創造了十個額外符號，但是發現它們難以記住。小鎮的中學有九位學生，所以全班學生都可以合作創造一個二十進制記數系統。他們的老師，William Bartley，指導了他們。

學生們集思廣益後，學生們想出了一個理想系統會有的幾個性質：

1. 簡易：符號應該要好記
2. 像似：符號與其意思之間的關係一定要清楚
3. 效率：它們必須要好寫，可以快速地連筆寫下來
4. 獨特：它們應該要跟阿拉伯數字有巨大的差異，避免產生混淆
5. 美感：它們一定要順眼

在二十進制的進位制記數系統中，數字二十會寫作一的數字和零的數字。伊努皮克語沒有一個零的詞語，所以學生們決定0的卡克托維克數字應該看起來像呈交叉的雙手，意味著什麼都沒數。

當中學學生們開始向年輕的學生教他們的新系統時，年輕的學生們往往會將數字壓縮到同大小的方塊內。這樣，他們製造了一個記數系統，五進制組成數字的上部分，而餘數組成下部分。這個系統在算術裡顯得特別有用。

計算

為卡克托維克數字而設計的伊努皮克算盤

算盤

學生們在學校工作坊裡製造了二十進制算盤。這些本來是幫人們將數字從十進制轉換到二十進制，但是學生們發現他們的設計適合於進行二十進制算術。算盤的上部分的每一行有三個珠子，各個代表五，而下部分每一行有四個珠子，各個代表一。

算術

簡單長除法：𝋃,𝋐𝋈𝋁（30,561）÷ 𝋃𝋁（61）= 𝋁𝋅𝋁（501）（二十進制：3,G81 ÷ 31 = 151）。除數𝋃𝋁（紅色）可以除被除數的頭兩個數字一次（藍色），所以商有一個一（藍色）。它可以除之後兩個數字（下劃線）一次，但是這次，它被旋轉了（紅色），所以商的下一個數字是一個被旋轉的一（五，紅色）。最後兩個數字可以除一次，對應著商的最後一個數字（白色）。

需要運用更多倍塊法的長除法：𝋎𝋉𝋍,𝋍𝋁𝋆（46,349,226）÷ 𝋇𝋁𝋆（2,826）= 𝋂,𝋁𝋀𝋁（16,401）（二十進製制 E9D,D16 ÷ 716 = 2,101）。除數𝋇𝋁𝋆可以將被除數的頭三個數字除兩次（紅色和藍色），於是商有一個二（紅色和藍色）；後面三個數字可以除一次（綠色）；之後的三個除不了（商的零）；剩下的白色數字可以除一次。

學生們發現他們的新系統有一個優點，就是用這個做算術時比阿拉伯數字更容易。加兩個數字時，它們的結果「看」上去會是它們的和。例如：

2 + 2 = 4

是

𝋂 + 𝋂 = 𝋄

做減法更容易：減數字時，可以去除適當數量的粗線，便可獲得答案。

另一個優點出現在長除法裡。它的視覺因素和五的次底數，使被除數很大的長除法跟短除法一樣容易，因為它不需要寫中間步驟的乘法和減法。學生們可以用彩色鉛筆以倍塊法記住中間步驟的粗線。

首先找出每個底數數字的積，再求出每個底數和次底數的積，最後找出每個次底數的積，可以做出簡化乘法表：

×	𝋁 1	𝋂 2	𝋃 3	𝋄 4		×	𝋁 1	𝋂 2	𝋃 3	𝋄 4		×	𝋅 5	𝋊 10	𝋏 15
1 𝋁	𝋁	𝋂	𝋃	𝋄		5 𝋅	𝋅	𝋊	𝋏	𝋁𝋀		5 𝋅	𝋁𝋅	𝋂𝋊	𝋃𝋏
2 𝋂	𝋂	𝋄	𝋆	𝋈		10 𝋊	𝋊	𝋁𝋀	𝋁𝋊	𝋂𝋀		10 𝋊	𝋂𝋊	𝋅𝋀	𝋇𝋊
3 𝋃	𝋃	𝋆	𝋉	𝋌		15 𝋏	𝋏	𝋁𝋊	𝋂𝋅	𝋃𝋀		15 𝋏	𝋃𝋏	𝋇𝋊	𝋋𝋅
4 𝋄	𝋄	𝋈	𝋌	𝋐

這些乘法表對卡克托維克數字的乘法已經足夠，但是有底數和次底數的因數需要首先被拆解：

6 * 3 = 18

是

𝋆 * 𝋃 = (𝋁 * 𝋃) + (𝋅 * 𝋃) = 𝋒

在以上例子中，因數𝋆（6）不在乘法表里，但是表中有它的組成部件，𝋁（1）和𝋅（5）。

影響

卡克托維克數字在因紐皮雅特人中獲得廣泛的使用。他們被引入了語言沉浸計劃，復興了本來面臨著淘汰之危的二十進制計數，因為英語中學流行著十進制系統。

1995年，發明這個系統的卡克托維克中學生畢業到巴羅（現名烏特恰維克）的高中，卻沒有忘掉他們的發明。他們獲准向本地中學生教這個。本地的Iḷisaġvik社區學院在它的目錄中加入了因努伊特數學課。

1996年，因努伊特歷史、語言及文化委員會正式採用這個記數系統。1998年，加拿大的因紐特人北極圈理事會推薦在該國發展及使用卡克托維克數字。

重要性

與之前的年份相比之下，卡克托維克中學的加州成就測驗分數於1997年激增。新數字推行前，平均分一直都在第20個百分位；推行後，分數超越了國家平均分。有些人推測以十進制和二十進制算數的優勢，跟可以用兩種思考方式觀察世界的雙語學生的優點不相上下。

一個本土記數系統的發展，可以給阿拉斯加州本地學生示範數學是依附於他們的文化和語言的，而不是由西方文化傳授而來。這跟「數學只是用來幫人入讀大學的東西」一個曾經很普遍的觀點有所不同。非本地學生可以看到這是一個不同的世界觀的一個實際例子，是民族數學的一部分。

編碼

卡克托維克數字被分配在多文種補充平面的一個區段上（U+1D2C0-1D2DF）。它們於2021年4月被統一碼技術委員會接受，將於2022年作為Unicode 15的一部分發表。它們佔有U+1D2C0 KAKTOVIK NUMERAL ZERO到U+1D2D3 KAKTOVIK NUMERAL NINETEEN。

卡克托維克數字 統一碼碼表 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PDF)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

U+1D2Cx

𝋀

𝋁

𝋂

𝋃

𝋄

𝋅

𝋆

𝋇

𝋈

𝋉

𝋊

𝋋

𝋌

𝋍

𝋎

𝋏

U+1D2Dx

𝋐

𝋑

𝋒

𝋓

Notes 1.^ 依據統一碼 15.0 2.^ 灰色區域為未分配碼位

外部鏈接

• 免費 Kaktovik 字體，基於 Bartley (1997)[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）