可及關係
(命題)模態邏輯的基本概述
編輯為了真正理解什麼是可及關係,需要一些對模態邏輯基礎的背景解說。出於簡化的目的,我們將限制於命題模態邏輯。命題模態邏輯只是帶有兩個關鍵一元算子的傳統句子邏輯: 意味著 "...是必然的" 和 表示 "...是可能的"。這些算子可以附加到一個單獨的句子上來形成一個新的複合句子。對於任何(簡單的或複合的)句子 A,我們可以由此形成複合句子 和 。
現在,使用 p、q 等來表示我們語言的語句,x、y 等來表示對象,而 P、Q 等來表示謂詞,我們可以寫出幾乎所有模態邏輯的六個基本公理:
多數其他公理關注有爭議而沒有達成廣泛一致的模態算子。下面是其中最經常使用和討論的:
- (T)
- (4)
- (5)
- (B)
- (T)
這裡的 "(T)"、"(4)"、"(E)" 和 "(B)" 表示這些公理(或原理)的傳統名字。
依據模態邏輯的傳統可能世界語義,由模態算子形成的複合句子要用量化於可能世界上的方式來解釋,訴諸於可及(accessibility)關係。可及關係現在可以定義為(無法解釋的)關係 ,它成立於可能世界 和 之間,只在可以從 到達 的情況下。
在形式語義中可及關係的重要性
編輯設 w* 指示真實世界,我們還要服從可能世界語義的兩個基礎變換模式:
- (TS)必然的 p 意味著 p 在 R(w*,w) 的所有可能世界 w 中是真的。可能的 p 意味著 p 在 R(w*,w) 的某些可能世界 w 中是真的。
要在技術/形式層面看到可及關係的能力和用途,注意下列聯繫成立:
- 公理 (T) 成立,如果可及關係 R 是自反的。如果每個世界可以訪問到自身,則 A 在其中為真的任何世界都是從它可到達 A 在其中為真的一個可及世界的一個世界。
- 公理 (4) 成立,如果 R 是傳遞的。 在一個世界 w 中為真,只在從 w 可到達的所有世界 中 A 都為真的情況下。所以, 在一個世界 w 中為真,只在從 w 可到達的所有世界 可到達的所有世界 中 A 都是真的情況下。
- 公理(5) 成立,如果 R 是歐幾里得的。 在一個世界 w 為真,若且唯若 A 在從 w 可到達的某個世界為真。 在一個世界 w 為真,若且唯若對於從 w 可以達到的所有世界 ,有從 可到達的一個世界 ,A 在其中為真。如果 A 在從 w 可到達的一個世界 中為真,那麼根據歐幾里得性質從 w 可到達的所有其他世界都能達到這個世界 ,所以對於從 w 可到達的所有世界 ,都有 A 在其中為真的一個可到達的世界 ,這保證了這個公理為真理。
- 公理 (B) 成立,如果 R 是對稱的。如果 A 在一個世界 w 中為真,則在從 w 可到達的所有世界 中,有從 可到達的一個世界,A 在中為真。對稱性提供從 可到達 w,這保證了這個公理為真理。
按大衛·劉易斯所說,結果是"舊爭論讓位於新爭論。不再提問莫名其妙的問題,是否現實的東西必然是可能的,我們可以簡單的提問: 關係 R 是對稱的嗎? "(劉易斯,1996)。
參見
編輯引用
編輯- Fitelson, Brandon. Notes on "Accessibility" and Modality. 2003.
- Brown, Curtis. Propositional Modal Logic: A Few First Steps. 2002.
- Kripke, Saul. Naming and Necessity. Oxford. 1980.
- Lewis, D.K.. Counterpart Theory and Quantified Modal Logic. Journal of Philosophy. 1968
- List of Logic Systems List of most of the more popular modal logics.