在數學中,右連左極函數(càdlàg,RCLL)是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函數。這類函數在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要,這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函數的集合稱為斯科羅霍德空間(Skorokhod space)。
- 全部連續函數都是右連左極函數。
- 由累積分布函數的定義知所有的累積分布函數都是右連左極函數。
從 到 的所有右連左極函數的集合常記為 或簡記為 ,稱為斯科羅霍德空間,是以烏克蘭數學家阿納托利·斯科羅霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科羅霍德空間可以被指派一個拓撲結構,這一拓撲直覺上能使我們「稍微蠕動空間和時間」(而傳統的一致收斂拓撲僅允許我們「稍微蠕動空間」)。為了簡化說明,取 , (Billingsley的書中描述了更一般的拓撲)
首先我們必須定義連續性模的一個模擬 。對於任意 ,使
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且對於 ,將右連左極函數模(càdlàg modulus)定義為
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其中最大下界對所有劃分 , 都存在,且 。這一定義對於非右連左極函數 是有意義的(就如通常的連續性模對於不連續函數是有意義的)且可以說明 是右連左極函數若且唯若 時 。
這是令 表示從 到自身的所有嚴格遞減的連續對射函數的集合(這些函數是「對時間的蠕動」)。令
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表示 上的函數的均勻範數。將 上的斯科羅霍德度量(Skorokhod metric) 定義為
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其中 是恆等函數。以「蠕動」這種直觀感覺來看, 度量了「時間的蠕動」,而 度量了「空間的蠕動」。
我們可以證明斯科羅霍德度量度量的確是度量。由 生成的拓撲 稱為 上的斯科羅霍德拓撲(Skorokhod topology)。
E 上的連續函數空間C 是D 的一個子空間。相對應於C 斯科羅霍德拓撲與這裡所述的一致拓撲相一致。
雖然D 不是關於斯科羅霍德度量σ 的一個完備空間,但是可以證明存在具完備性的關於D 的拓撲等價度量 σ0 。
關於σ 或σ0 的D 是可分空間,因此斯科羅霍德空間是波蘭空間。
通過應用阿爾澤拉-阿斯科利定理,我們可以證明斯科羅霍德空間D 上機率測度的一個序列 是胎緊的若且唯若同時滿足下列兩個條件:
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和
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在斯科羅霍德拓撲和函數的逐點加法下,D 不是一個拓撲群。