西洋棋盤與麥粒問題

西洋棋盤與麥粒問題（麥粒也作米粒），是一個數學問題。該問題大致表述如下：

在這個棋盤上，有五個格子擺有米粒，棋盤上有米$2^{5}-1=31$粒。

若在西洋棋盤上放置麥粒，第1個棋格放1粒，此後每一棋格放置的麥粒數是前一棋格的2倍，問放滿棋盤上所有棋格需要多少麥粒？

這個問題是一個等比數列的求和問題，答案為18446744073709551615。與直覺相悖，這個問題的答案高達十的十九次方，數倍於地球上的昆蟲總數，因此這個問題經常被用來說明指數增長的速度。

這個問題經常會和下面這個投資問題同時出現：

選擇100萬元，還是選擇在一個月內每天翻倍的一分錢？

在這個投資問題中，由於公曆的月份有大月和小月之分，最終第二項的獲利至少在200萬元以上，最多時超過1000萬元。這個問題說明，像棋盤上的米粒一樣，複利的增長速度十分驚人。

歷史

這個問題的背景有多個版本，其中最早的版本見於伊斯蘭教沙斐儀派學者伊本·哈利坎在1256年的記載。

流傳較廣的版本則是國王賞賜西洋棋的發明者。相傳古印度的一位國王因為象棋的發明而賞賜象棋的發明者（一說為西薩，一位古印度宰相），此人要求國王根據數米問題的答案賞賜他糧食。國王起初認為他要求的賞賜過少，但是後來倉庫管理員發現這個人要求的糧食比國王國庫里的糧食多出上千倍。故事的後續發展有不同版本：有的版本裡象棋發明者成為了國王的高級顧問，有的版本裡發明者則因為貪得無厭而被處決。

求解

參見：等比數列 § 等比數列和

這個問題的實質是求解數列$a_{n}=2^{n-1}$的前64項和：

$$S=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}$$

這個和式也可以用sigma記號記為：

$$S=\Sigma _{n=0}^{63}2^{n}$$

將和式中的每一項乘以2可得：

$$2S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}$$

用此式減去上式得：

$$S=2^{64}-1=18446744073709551615$$

參見

• 摩爾定律，描述集成電路上的電晶體像米粒一樣增長。
• 幾何級數
• 漢諾塔問題

外部連結

• 国王赏不起的米. 新華網. 2018-07-18 [2020-04-05]. （原始內容存檔於2019-12-13）.