數學上,特別是泛函分析中,希爾伯特空間中的每個線性算子有一個相應的伴隨算子(adjoint operator)。算子的伴隨將方塊矩陣共軛轉置推廣到(可能)無窮維情形。如果我們將希爾伯特空間上的算子視為「廣義複數」,則一個算子的伴隨起著一個複數的共軛的作用。
一個算子A的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨(Hermitian adjoint,以夏爾·埃爾米特命名),記作A*或A†(後者尤其用於狄拉克符號記法)。
假設H是一個希爾伯特空間,帶有內積
。考慮連續線性算子A : H → H(這與有界算子相同)。
利用里斯表示定理,我們可以證明存在唯一的連續線性算子
A* : H → H具有如下性質:
- ,對所有 。
這個算子A* 是A的伴隨。
這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣,在標準(復)內積下具有相似的性質。
馬上可得的性質
- A** = A
- 如A可逆,則A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
- (A + B)* = A* + B*
- (λA)* = λ* A*,這裡λ* 表示複數λ的復共軛
- (AB)* = B* A*
如果我們定義A的算子範數為
-
則
-
而且有
- 。
希爾伯特空間H上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。
A的像與它的伴隨的核的關係為
-
- 。
第一個等式的證明:
-
第二個等式由第一個推出,於兩邊取正交空間即可。注意到一般地,像未必是閉的,但連續算子的核總是閉的。
有界算子A: H → H稱為埃爾米特或自伴如果
- A = A*
這等價於
- 。
在某種意義下,這種算子起著實數(等於他們的復共軛)的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。
許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形,我們仍然能定義伴隨,在自伴算子一文有解釋。
範疇論中,方程
-
形式上類似地定義了伴隨函子偶性質,這也是伴隨函子得名之由來。
- Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006