塞爾譜序列

在數學中，塞爾譜序列（Serre spectral sequence），有時為了紀念讓·勒雷早先的工作稱為勒雷-塞爾譜序列（Leray-Serre spectral sequence），是代數拓撲學中的基本工具。它用同調代數的語言將一個（塞爾）纖維化的全空間 E 的奇異（上）同調表示為底空間 B 和纖維 F 的（上）同調。此結論屬於讓-皮埃爾·塞爾的博士論文。

表述

令 $f:E\rightarrow B$ 是拓撲空間的一個塞爾纖維化，F 是其纖維。結論用譜序列和標準記號表示。在沒有簡化假設時，記號必須正確地理解。

上同調譜序列

塞爾上同調譜序列為：

E₂^pq = H^p(B, H^q(F)) $\Rightarrow$ H^p+q(E).

這裡，至少在標準簡化條件下，E₂-項中的係數群是 F 的第 q 個整上同調群，外面的群是 B 的係數取值於這個群的奇異上同調。

嚴格地說，這表示關於 B 上由不同的纖維的上同調給出的局部係數系統的上同調。如果假設，B 是單連通，便退化為通常的上同調。對一個道路連通底空間，所有不同的纖維是同倫等價的。特別的，它們的同調是同構的，所以纖維的選取沒有歧義。

收斂項表示整個空間的整上同調。

其中有乘法結構

$E_{r}^{p,q}\times E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{p+s,q+t},$

在 E₂-項上與 qs-倍上積重合，且關於乘法結構，d_r 是（分次）導子，由 E_r-頁的乘法結構誘導了 E_r-頁的乘法結構。

同調譜序列

類似於上同調譜序列，有同調譜序列：

E²_pq = H_p(B, H_q(F)) $\Rightarrow$ H_p+q(E),

這裡的記號與上一節對偶。

這事實上是更一般的單純集的纖維化的塞爾譜序列的一個特例。如果 f 是一個單純集的纖維化（一個闞纖維化（Kan fibration）），使得 $\pi _{1}(B)$，單純集 B 的第一同倫群，消失，則有正好和上面一樣的譜序列。（利用將任何拓撲空間的單純形相伴為一個拓撲空間的纖維化的函子，我們得到上面的序列）。

參考文獻

塞爾譜序列包含於代數拓撲學的一般教材中，例如：

• Allen Hatcher, The Serre spectral sequence （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Edwin Spanier, Algebraic topology, Springer

單純集情形可參見：

• P. Goerss, R. Jardine, Simplicial homotopy theory, Birkhäuser