夏農–菲諾–以利亞碼

資訊理論中,夏農–菲諾–以利亞碼算術編碼的先導,其機率被用於決定碼字。

演算法描述

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給定一離散隨機變數 X ,令  X=x 發生之機率。

定義

 

演算法如下:

對每個 X 中的 x
Z  之二次展開
x 之編碼長度  
選定 x 之編碼,   Z 之小數點後之第一個最高有效位。

舉例

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令 X = {A, B, C, D} ,其發生機率分別為 p = {1/3, 1/4, 1/6, 1/4} 。

對於 A
 
在二進位中, Z(A) = 0.0010101010...
L(A) =   = 3
code(A) 為 001
對於 B
 
在二進位中, Z(B) = 0.01110101010101...
L(B) =   = 3
code(B) 為 011
對於 C
 
在二進位中, Z(C) = 0.101010101010...
L(C) =   = 4
code(C) 為 1010
對於 D
 
在二進位中, Z(D) = 0.111
L(D) =   = 3
code(D) 為 111

演算法分析

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前綴碼

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夏農–菲諾–以利亞碼之輸出為二進位前綴碼,因此可被直接解碼。

令 bcode(x) 為二進位表示法最左側加入小數點而成之小數。舉例而言, code(C)=1010 ,則 bcode(C) = 0.1010 。 對所有 x ,如果沒有任何 y 存在使得

 

則所有的碼可構成前綴碼。


此性質可透過比較 F 和 X 之累積分布函數,以圖表示出:

 

由 L 之定義可得

 

並且由於 code(y) 是由 F(y) 從 L(y) 之後的位元截短而得,故

 

因此 bcode(y) 必不比 CDF(x) 小。

上圖說明了   ,因此前綴碼定理成立。

編碼長度

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此碼之平均長度為  
因隨機變數 X 之 H(X) 滿足

 

夏農–菲諾–以利亞碼之長度約比代編碼資料之熵長約一到二額外位元,故甚少被實用。

參考書目

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T. M. Cover and Joy A. Thomas (2006). Elements of information theory (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 127–128.