公理化集合論與使用它的邏輯數學計算機科學分支中,外延性公理外延公理(英語:Axiom of extensionality)是 Zermelo-Fraenkel 集合論公理之一。

形式陳述

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在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中,它讀做:

 

換句話說:

給定任何集合 和任何集合  等於 若且唯若給定任何集合   的一個成員若且唯若  的一個成員。

(這裡的 是集合不是本質性的,但在ZF中所有東西都是集合。參見下面的帶有基本元素的集合論章節)。

解釋

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要理解這個公理,注意上述符號陳述中圓括號內的子句簡單的聲稱了 AB 有完全相同的成員。所以,這個公理實際上說的是兩個集合相等,若且唯若它們有完全相同的成員。它的本質是:

集合唯一的由它的成員來決定。(Every set is uniquely determined by its elements.)

外延性公理可以同   形式的概括陳述一起使用,這裡的 是不提及  的任何一元謂詞,來定義一個唯一集合 ,它的成員完全是滿足謂詞 的集合。我們可以接著為 介入新的符號;普通數學中的定義最終以這種方式工作的,當它們的陳述簡化到純集合論術語的時候。

外延性公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。但是對於某些使用需要修改。

在沒有等號的謂詞邏輯中

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上面給出的公理假定等號是謂詞邏輯的基本符號。某些公理化集合論的做法是不做這個假定:有的不把上述陳述作為公理,而是作為對等號的定義。那麼,就必須連同來自謂詞邏輯中有關等式的公理,作為關於這個被定義的符號的公理。多數等式的公理仍能從這個定義得出;餘下的一個是

 

而這就成為了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合論中

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基本元素是自身不是集合的一個集合的一個元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中沒有基本元素,但在某些可替代的集合論的公理化中會有它們。基本元素可以被當作不同於集合的邏輯類型;在這種情況下,如果 是基本元素,則 沒有意義,所以外延性公理只適用於集合。

作為選擇之一,在無類型邏輯中我們可以要求  是基本元素的時候為假。在這種情況下,平常的外延性公理將蘊涵所有基本元素等於空集。為了避免這樣,我們可以修改外延性公理為只適用於非空集合,並把它讀為:

 

就是說:

給定任何集合 和任何集合 ,如果 是非空集合(就是說存在著 的一個成員 ),那麼  是相等的,若且唯若它們有完全相同的成員。

另一個選擇,在無類型邏輯中可定義  是基本元素的時候自身是 的唯一的元素。儘管這個方式可以勝任保存外延性公理,但基礎公理反而需要調整。

引用

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  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.