大數法則

在數學與統計學中，大數法則（英語：Law of large numbers）又稱大數定律、大數律，是描述相當多次數重複實驗的結果的法則。根據這個法則知道，樣本數量越多，則其算術平均值就有越高的機率接近期望值。

以特定擲單個骰子的過程來展示大數法則。隨著投擲次數的增加，所有結果的均值趨於3.5（骰子點數的期望值）。不同時候做的這個實驗會在投擲次數較小的時候（左部）會表現出不同的形狀，當次數變得很大（右部）的時候，它們將會非常相似。

大數法則很重要，因為它「說明」了一些隨機事件的均值的長期穩定性。人們發現，在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬次以後，我們就會發現，硬幣每一面向上的次數約占總次數的二分之一，亦即偶然之中包含著必然。

上述現象是柴比雪夫不等式的一個特殊應用情況，辛欽定理和伯努利大數法則也都概括了這一現象，它們統稱為大數法則。

舉例

例如，拋擲一顆均勻的6面的骰子，1，2，3，4，5，6應等機率出現，所以每次扔出骰子後，出現點數的期望值是

${\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$

根據大數定理，如果多次拋擲骰子，隨著拋擲次數的增加，平均值（樣本平均值）應該接近3.5，根據大數定理，在多次伯努利實驗中，實驗頻率最後收斂於理論推斷的機率值，對於伯努利隨機變數，理論推斷的成功機率就是期望值，而若對n個相互獨立的隨機變數的平均值，頻率越多則相對越精準。

例如硬幣投擲即伯努利實驗，當投擲一枚均勻的硬幣，理論上得出的正面向上的機率應是1/2。因此，根據大數定理，正面朝上的比例在相對「大」的數字下，「理應」接近為1/2，尤其是正面朝上的頻率在n次實驗（n接近無限大時）後應幾近收斂到1/2。

即使正面朝上（或背面朝上）的比例接近1/2，幾乎很自然的正面與負面朝上的絕對差值（absolute difference差值範圍）應該相應隨著拋擲次數的增加而增加。換句話說，絕對差值的機率應該是會隨著拋擲次數而接近於0。直觀的來看，絕對差值的期望值會增加，只是慢於拋擲次數增加的速度。

表現形式

大數法則主要有兩種表現形式：弱大數法則和強大數法則。法則的兩種形式都肯定無疑地表明，樣本均值

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$

收斂於真值

${\overline {X}}_{n}\to \mu \quad {\textrm {as}}\quad n\to \infty$

其中 $X_{1}$, $X_{2}$, ... 是獨立同分布、期望值$\operatorname {E} (X_{1})=\operatorname {E} (X_{2})=\,\cdots \,=\mu$ 且皆勒貝格可積的隨機變數構成的無窮序列。$X_{j}$的勒貝格可積性意味著期望值 $\operatorname {E} (X_{j})$存在且有限。

變異數$\operatorname {Var} (X_{1})=\operatorname {Var} (X_{2})=\,\cdots \,=\sigma ^{2}<\infty$有限的假設是非必要的。很大或者無窮大的變異數會使其收斂得緩慢一些，但大數法則仍然成立。通常採用這個假設來使證明更加簡潔。

強和弱之間的差別在所斷言的收斂的方式。對於這些方式的解釋，參見隨機變數的收斂。

弱大數法則

弱大數法則(WLLN) 也稱為辛欽定理，陳述為：樣本均值依機率收斂於期望值。

${\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ \mu \quad {\textrm {as}}\quad n\to \infty$

也就是說對於任意正數 ε,

$\lim _{n\to \infty }P\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon \,\right)=0$

強大數法則

強大數法則(SLLN)指出，樣本均值以機率1收斂於期望值。

${\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {\text{a.s.}}}\ \mu \quad {\textrm {as}}\quad n\to \infty$

即

$P\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1$

柴比雪夫定理的特殊情況

設 $a_{1},\ a_{2},\ \dots \ ,\ a_{n},\ \dots$ 為相互獨立的隨機變數，其數學期望值為：$\operatorname {E} (a_{i})=\mu \quad (i=1,\ 2,\ \dots )$，變異數為：$\operatorname {Var} (a_{i})=\sigma ^{2}\quad (i=1,\ 2,\ \dots )$

則序列${\overline {a}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$依機率收斂於$\mu$（即收斂於此數列的數學期望值$E(a_{i})$）。

換言之，在定理條件下，當$n$無限變大時，$n$個隨機變數的算術平均將變成一個常數。

伯努利大數法則

設在$n$次獨立重複伯努利試驗中，事件$X$發生的次數為$n_{x}$，事件$X$在每次試驗中發生的母體機率為$p$，${\frac {n_{x}}{n}}$代表樣本發生事件$X$的頻率。

則對任意正數$\varepsilon >0$，伯努利大數法則表明：

$\lim _{n\to \infty }{P{\left\{\left|{\frac {n_{x}}{n}}-p\right|<\varepsilon \right\}}}=1$

換言之，事件發生的頻率依機率收斂於事件的母體機率。該定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性，也就是說當$n$很大時，事件發生的頻率與母體機率有較大偏差的可能性很小。

參見

• 機率論
• 中央極限定理

外部連結

• 二項分布與大數法則理論與實際相連（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）