實射影空間

數學中，實射影空間（real projective space），記作 RPⁿ，是 Rⁿ⁺¹ 中的直線組成的射影空間。它是一個 n 維緊光滑流形，也是格拉斯曼流形的一個特例。

構造

與所有射影空間一樣，RPⁿ 是通過取 Rⁿ⁺¹ − {0} 在等價關係 x ∼ λx 對所有實數 λ ≠ 0 下的商空間。對所有 x 屬於 Rⁿ⁺¹ − {0}，總可找到一個 λ 使得t λx 的範數為 1。恰好有相差一個符號的兩個這樣的 λ。

故 RPⁿ 也可通過將 Rⁿ⁺¹ 中單位 n-維球面 Sⁿ 的對徑點等同起來得到。

進一步我們限制在 Sⁿ 的上半球面，僅將邊界赤道上的對徑點等同。這說明 RPⁿ 閉 n-維圓盤 Dⁿ 將邊界 ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹ 上的對徑點等同。

低維例子

$\mathbf {RP} ^{1}$ 也成為實射影直線，拓撲等價於圓周。

$\mathbf {RP} ^{2}$ 稱為實射影平面。

$\mathbf {RP} ^{3}$ （微分同胚）是 SO(3)，從而有一個群結構；覆疊映射 $S^{3}\to \mathbf {RP} ^{3}$ 是一個群映射 $\operatorname {Spin} (3)\to SO(3)$ ，這裡 Spin(3)是 SO(3) 的萬有覆疊李群。

拓撲

n-維球面的對徑映射（將 x 送到 -x）生成 Sⁿ 上一個 Z₂ 群作用。上已提到，這個作用的軌道空間是 RPⁿ。這個作用恰是一個覆疊空間作用，使 Sⁿ 成為 RPⁿ 的二重覆疊。因為對 n ≥ 2，Sⁿ 是單連通的，它們在此情形也是萬有覆疊。從而當 n > 1 時，RPⁿ 的基本群是 Z₂（當 n=1 基本群是 Z 因為同胚於 S¹）。基本的一個生成元是連接 Sⁿ 中一組對徑點的曲線投影到 RPⁿ 上的閉曲線。

點集拓撲

n-維射影空間的一些性質：

1-維射影空間同胚與圓周。

2-維射影空間不能嵌入 R³。但可以嵌入 R⁴ 以及浸入 R³。

n-維射影空間事實上同胚於 R^(n+1)² 中所有跡為 1 的對稱 (n+1)×(n+1) 冪等線性轉換組成的子流形。

n-維射影空間是緊連通空間，基本群同構於 2 階循環群（從 n-維球面到 n-維射影空間的商映射是 n-維射影射影空間被一個路徑連通空間的二重覆疊）。

同倫群

$\mathbf {RP} ^{n}$ 的高次同倫群恰好是 $S^{n}$ 的高階同倫群，有纖維化的同倫長正合序列得出。

確切地，這個纖維叢是

\mathbf {Z} /2\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.

你也可以類似於複射影空間將其寫成

S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}

或

O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.

低次同調群是

\pi _{i}\mathbf {RP} ^{n}={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} /2&i=1\\0&1<i<n\\\mathbf {Z} &i=n.\end{cases}}

光滑結構

實射影空間是光滑流形。在 Sⁿ 的齊次坐標 (x₁...x_n+1) 中，考慮子集 U_i 使得 x_i ≠ 0。每個 U_i 同胚於 Rⁿ 中的開單位球體，且坐標轉移函數是光滑的。這給出了 RPⁿ 一個光滑結構。

CW 結構

實射影空間 RPⁿ 有一個 CW結構，在每一維有 1 個胞腔。

在 Sⁿ 上的齊次坐標 (x₁ ... x_n+1) 中，坐標鄰域 U₁ = {(x₁ ... x_n+1)|x₁ ≠ 0} 可與 n-維圓盤 Dⁿ 的內部等價。當 x_i = 0，我們有 RP^{n - 1}。從而 RPⁿ 的 n - 1 骨架是 RP^{n - 1}，而且黏貼映射 f: S^n-1 → RP^{n - 1} 是一個二對一映射。我們可令

\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.

歸納證明 RPⁿ 是一個 CW 複形，在每一維有 1 個胞腔。

這些胞腔與旗流形（英語：Generalized flag variety）上一樣是舒伯特胞腔（英語：Schubert variety）。這便是，取一個完全旗（稱為標準旗）0 = V₀ < V₁ <...< V_n；則閉 k-胞腔是屬於 V_k 中的直線。而開 k-胞腔（k-胞腔的內部）是 V_k\V_k-1 中的直線（屬於 V_k 但不屬於 V_{k - 1} 的直線）。

在齊次坐標（關於旗的）中，這些胞腔是

[*:0:0:\dots :0]

[*:*:0:\dots :0]

\vdots

[*:*:*:\dots :*].

這不是一個正則 CW 結構，因黏貼映射是二對一的。但它的覆蓋是球面上一個正則 CW 結構，在每一維有 2 個胞腔；事實上，這是球面上最小的正則 CW 結構。

在光滑結構的幫助下，莫爾斯函數的存在性可證明 RPⁿ 是一個 CW 複形。在齊次坐標中，這樣一個函數可為：

g(x_{1},\cdots ,x_{n+1})=\sum _{1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.

在每個鄰域 U_i，g 有非退化奇異點 (0...,1,...0)，這裡 1 出現於第 i 個位置，具有莫爾斯指標 i。這說明了 RPⁿ 是一個在每一維有一個胞腔的 CW 複形。

同調

與上面 CW 結構相伴的胞腔鏈複形在每個維數 0,...,n 恰有一個胞腔。對每個維數 k，邊界映射 d_k : δD^k → RP^k-1/RP^k-2，坍塌到 S^{k - 1} 上的赤道然後將對徑點等同。在奇數（偶數）維，度數為 0（2）：

\mathrm {deg} (d_{k})=1+(-1)^{k}.\,

從而整同調是

H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\\mathbf {Z/2Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}

可定向性

$\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向若且唯若 n 為奇數，上面的同調計算已經做了說明。更具體地， $\mathbf {R} ^{p}$ 上的對徑映射有符號 $(-1)^{p}$ ，所以它是保定向的若且唯若 p 是偶數。從而定向特徵標（英語：Orientation character）是： $\pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})$ 中的非平凡迴路作為 $(-1)^{n+1}$ 作用在定向上，所以 $\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向若且唯若 n+1 為偶數，即 n 為奇數。