差分機

關於威廉·吉布森與布魯斯·斯特林共同撰寫的小說，請見「差分機 (小說)」。

差分機（Difference engine），是英國科學家查爾斯·巴貝奇研發的自動化數學機器。

差分機一號的1/7完成品

後人製造的差分機二號

差分機一號

巴貝奇設計計算機器的基本想法是利用「機器」將計算到印刷的過程全部自動化，全面去除人為疏失（如：計算錯誤、抄寫錯誤、校對錯誤、印製錯誤等）。而差分機一號（Difference Engine No.1）則是利用N次多項式求值會有共通的N次階差的特性，以齒輪運轉，帶動十進位的數值相加減、進位。

差分機一號（Difference Engine No.1）由英國政府出資，工匠約瑟夫·克萊芒打造，預計完工需要25,000個零件（大致均分在計算和印刷兩部份），重達4噸，可計算到第六階差，最高可以存16位數（相當於千兆的數）。但因為大量精密零件製造困難，加上巴貝奇不停地邊製造邊修改設計，從1822到1832年的十年間，巴貝奇只能拿出完成品的1/7部份來展示，不過差分機運轉的精密程度仍令當時的人們嘆為觀止，至今依然是人類踏進科技的一個重大起步。

巴貝奇不斷延後完成期限的嚴重超支（英國政府在1842年的最後清算發現整個計畫一共讓國庫支出了￡17,500）、製作過程不斷修改設計、時常與克萊芒發生衝突等諸多原因，讓完整的差分機一號一直未能完成，一萬兩千多個還沒用到的精密零件後來都被熔解報廢。

運作原理

簡單來說，差分機就是一台多項式求值機，只要將欲求多項式方程的前3個初始值輸入到機器裡，機器每運轉一輪，就能產生出一個值來。假設以 $F(x)=x^{2}+4$ 為例，差分機得出來的結果，就會是 $F(1)=5$、$F(2)=8$、$F(3)=13$、$F(4)=20$……等，直到系統停止為止。機器運作最重要的基礎，在於求出多項方程式的結果完全只需要用到加法與減法。

在 $F(x)=x^{2}+4$ 這個例子中，第一步是先算出 $F(1)$ 和 $F(2)$ 之間的差（$8-5=3$），稱為第一階差（First Difference）。如果這個值和 $F(2)$ 及 $F(3)$ 之間的差（$13-8=5$）不同的話，就拿這兩個第一階差再算一次差（$5-3=2$），稱為第二階差（Second Difference）。在這個例子裡，每一個第二階差都是 $2$，所以就不用再算下去了。所以可以推論出一次方程式最多只會有第一階差、二次方程式會有第二階差、$N$ 次方程則會到第 $N$ 階差。而有了這個固定不變的差數後，就可以開始往前推算回去，接下來的每一個值，就是將差數和前一階的上一個值相加，即可獲得。例如求 $F(4)$ 時，先將第二階差 $2$ 加上第一階差的值 $5$ 得到 $7$，再將 $7$ 加上 $F(3)$ 的值 $13$，就會得到 $F(4)=20$，以此類推。不斷重複的特性卻很適合機械運算。

具體來講巴貝奇差分機是用蒸汽機為動力，驅動大量的齒輪機構運轉。 巴貝奇的分析機大體上有三大部分：其一是齒輪式的「存貯庫」，巴貝奇稱它為「倉庫」（Store），每個齒輪可貯存10個數，齒輪組成的陣列總共能夠儲存1000個50位數。分析機的第二個部件是所謂「運算室」，它被巴貝奇命名為「作坊」（Mill），其基本原理與帕斯卡的轉輪相似，用齒輪間的嚙合、旋轉、平移等方式進行數字運算。為了加快運算速度，他改進了進位裝置，使得50位數加50位數的運算可完成於一次轉輪之中。第三部分巴貝奇沒有為它具體命名，其功能是以傑卡德穿孔卡中的「0」和「1」來控制運算操作的順序，類似於電腦里的控制器。他甚至還考慮到如何使這台機器處理依條件轉移的動作，比如，第一步運算結果若是「1」，就接著做乘法，若是「0」就進行除法運算。此外，巴貝奇也構思了送入和取出數據的機構，以及在「倉庫」和「作坊」之間不斷往返運輸數據的部件。

差分機二號

差分機二號（或稱大型差分機）在1849年設計出來，卻在有生之年只實作了很小一部分。這台機器可以進行相當複雜的數學計算，具有31位元精度。

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