平穩相近似

平穩相近似是一種處理在給定區間內被積分函數快速振盪的定積分的近似法。下列定積分

$\int _{a}^{b}f(t,x)*e^{ivh(t)}dt$

被積分函數$f(t,x)*e^{ivh(t)}$在{a,b}區間快速振盪，而位相在此區間內的變化相對緩慢。這類積分用拉普拉斯近似無效，必須用平穩相近似法。

原理

綠線代表振盪的被積分函數，紅線代表位相

主要貢獻來自平穩位相區

$F(v,x)=\int _{0}^{\pi }cos(v*h(t)dt$

位相：$v*h(t)=v*(t-xsin(t))$

被積分函數：$cos(v(t-xsin(t))$

位相的平穩點由下列微分方程給出：

${\frac {d}{dt}}(v*(t-xsin(t))=0$,令$v=5,x=35$得平穩相點：

$t_{s}=t=arccos(1/35)=1.54$

將積分F(v,x)分為三段：

$sf:=\int _{0}^{1}cos(5*t-5*x*sin(t))dt+\int _{1}^{2}cos(5*t-5*x*sin(t))dt+\int _{2}^{\pi }cos(5*t-5*x*sin(t))dt$

由圖可見，在平穩相點左右區間[1,2]，位相平穩，這個平穩相區間貢獻了定積分的主要部分，在平穩相區間之外[0,1]和$[2,\pi ]$，由於被積分函數振盪激烈，正負相消，因此貢獻可以忽略不計。這就是平穩相近似的原理

一階近似展開

設有下列積分

$F(v)=\int _{a}^{b}e^{ivh(t)}f(t)dt$,

並設$h(t)$的平穩相點為$t_{k}$

將$h(t)$作泰勒展開：

$h(t)\approx h(t_{k})+{\frac {1}{2}}*(t-t_{k})^{2}h''(t_{k})+\cdots$

於是

$F_{k}(v)\approx e^{ivh(t)}f(t_{k})$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ivs^{2}h''(t_{k})/2}ds$

將所有平穩相點$k=1\cdots N$的貢獻相加得

$F(v)\approx {\sqrt {\frac {2*\pi }{abs(v)}}}$$\sum _{k=1}^{N}$${\frac {f(t_{k})}{\sqrt {abs(h''(t_{k}))}}}exp{(i(vh(t)+{\frac {\pi }{4}}sgn(vh''(t_{k})))}$

一般情形被積分函數是不是積分區間的周期函數，因此積分區間兩頭的貢獻也必須補入，

$F(v)\approx {\sqrt {\frac {2*\pi }{abs(v)}}}$$\sum _{k=1}^{N}$${\frac {f(t_{k})}{\sqrt {abs(h''(t_{k}))}}}exp{(i(vh(t)+{\frac {\pi }{4}}sgn(vh''(t_{k})))}$$+{\frac {i}{v}}({\frac {e^{ivh(a)}f(a)}{h'(a)}}-{\frac {ivh(b)f(b)}{h'(b)}})$

參考文獻

• D.Richards Advanced Mathematical Methods with Maple,Cambridge 2002.
• Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge 2010