平衡點 (數學)

數學中,平衡點(equilibrium point)是相對微分方程差分方程的概念,多指微分方程的常數解(constant solution)。

定義

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對於微分方程

 

 對任意 都成立,則稱 為此微分方程的平衡點

類似地,對於差分方程

 

  都成立,則稱 為此差分方程的平衡點

分類

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微分方程可以被線性化為以下形式

 

其中  在平衡點 處的雅可比矩陣。通過觀察矩陣 特徵值的符號,可以判斷平衡點 的穩定性。

 的所有的特徵值的實部均不為0,則 被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的實部均為負值,則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的實部為正值,則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的實部為正,且至少有一個特徵值的實部為負,則此平衡點是鞍點

關於差分方程的平衡點也可作相似的分類。設  在平衡點 處的雅可比矩陣

 的所有的特徵值的均不為1,則 被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的模均為小於1,則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的模大於1,則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的模大於1,且至少有一個特徵值的模小於1,則此平衡點是鞍點