拉回 (微分幾何)

在微分幾何中，拉回是將一個流形上某種結構轉移到另一個流形上的一種方法。具體地說，假設 φ:M→ N 是從光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那麼伴隨有一個從 N 上 1- 形式（餘切叢的截面）到 M 上 1-形式的線性映射，這個映射稱為由 φ 拉回，經常記作 φ^*。更一般地，任何 N 上共變張量場——特別是任何微分形式——都可以由 φ 拉回到 M 上。

當映射 φ 是微分同胚，那麼拉回與前推一起，可以將任何 N 上的張量場變換到 M，或者相反。特別地，如果 φ是 Rⁿ 的開集與 Rⁿ 之間的微分同胚，視為坐標變換（也許在流形 M 上不同的坐標卡上），那麼拉回和前推描述了共變與反變張量用更傳統方式（用基）表述的變換性質。

拉回概念背後的本質很簡單，是一個函數和另外一個函數的前複合。但是將這種想法運用到許多不同的情形，可以構造許多複雜的拉回。本文從簡單的操作開始，然後利用它們構造更複雜的。粗略地講，拉回手法（利用前複合）將微分幾何中多種不同的結構變成反變函子。

光滑函數與光滑映射

設 φ:M→ N 是光滑流形 M 與 N 之間的光滑映射，假設 f:N→R 是 N 上一個光滑函數。則 f 通過 φ 的拉回是 M 上的光滑函數 φ^*f，定義為 (φ^*f)(x) = f(φ(x))。類似地，如果 f 是 N 中開集 U 上的光滑函數，則相同的公式定義了 M 中開集 φ^-1(U) 上一個光滑函數。用層的語言說，拉回定義了 N 上光滑函數層到 φ 的直接像（在 M 上光滑函數層中）的一個態射。

更一般地，如果 f:N→A 是從 N 到任意其他流形 A 的光滑映射，則φ^*f(x)=f(φ(x)) 是從 M 到 A 的一個光滑映射。

叢與截面

如果 E 是 N 上一個向量叢（或任意纖維叢），φ:M→N 是光滑映射，那麼拉回叢 φ^*E 是 M 上一個向量叢（或更一般地纖維叢），其 M 中的點 x 處的纖維由 (φ^*E)_x = E_φ(x) 給出。

在此情形，前複合定義了 E 上截面的一個變換：如果 s 是 N 上 E 的一個截面，那麼拉回截面 $\varphi ^{*}s=s\circ \varphi$ 是 M 上拉回叢 φ^*E 的一個截面。

多重線性形式

設 Φ:V→ W 是向量空間 V 與 W 之間的一個線性映射（即，Φ 是 L(V,W) 中的元素，也記成 Hom(V,W)），設

F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R}

是 W 上一個多重線性形式（也稱為 (0,s) 階張量——但不要和張量場混淆——這裡 s 是乘積中 W 的因子的個數）。則 F 由 Φ 的拉回 Φ^*F 是一個 V 上的多重線性形式，定義為 F 與 Φ 的前複合。準確地，給定 V 中向量 v₁,v₂,...,v_s， Φ^*F 由公式定義

(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),

這是 V 上一個多重線性形式。從而 Φ^* 是一個從 W 上的多重線性形式到 V 上的多重線性形式的（線性）算子。作為一個特例，注意到如果 F 是 W 上一個線性形式（或 (0,1) -張量），那麼 F 是 W 的對偶空間 W^* 中一個元素，則 Φ^*F 是 V^* 中一個元素，所以拉回定義了對偶空間之間一個線性映射，作用的方向與線性映射 Φ 自己的方向相反：

\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.

從張量的觀點來看，自然想把來回這種概念推廣到任何階，即 W 上取值於 r 個 W 的張量積 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的線性映射。但是，這種張量積不能自然的拉回：不過有從 $V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的前推算子，定義為

\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).

然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函數 Φ^-1 的前推定義。將一個可逆線性映射與這兩個構造放在一起，得到了對任何 (r,s) 階張量一個拉回算子。

餘切向量與 1 形式

設 φ : M → N 是光滑流形間的光滑映射。那麼 φ 的前推：φ_* = dφ （或 Dφ），是從 M 的切叢 TM 到拉回叢 φ^*TN 的（在 M 上）向量叢同態。從而 φ_* 的轉置是從 φ^*T^*N 到 M 的餘切叢 T^*M 的叢映射。

現在假設 α 是 T^*N 的一個截面（N 上一個 1-形式），將 α 與 φ 前複合得到 φ^*T^*N 的一個拉回截面。將上述（逐點）叢映射應用到截面導致 α 由 φ 的拉回，是 M 上一個 1-形式，定義為：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))

對 x 屬於 M 與 X 屬於 T_xM。

（共變）張量場

對任何自然數 s，上述構造馬上可推廣到 (0,s) 階張量叢上。流形 N 上 (0,s) 張量場是 N 上張量叢的一個截面，在 N 中 y 點的截面是多重線性 s-形式空間

F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .

取 Φ 等於從 M 到 N 的一個光滑映射的微分（逐點的），多重線性形式的拉回可與截面的拉回複合得出 M 上 (0,s) 張量場的拉回。更確切地，如果 S 是 N 上一個 (0,s)-張量場，那麼 S 由 φ 的拉回是 M 上 (0,s)-張量場 φ^*S，定義為

(\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,

對 x 屬於 M 與 X_j 屬於 T_xM。

微分形式

共變張量場拉回的一個特別重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一個微分 k-形式，即 TN（逐點）反交換 k-形式組成的外叢 Λ^kT*N 的一個截面，則 α 的拉回是 M 上一個微分 k-形式，定義與上一節相同：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,

對 x 屬於 M 與 X_j 屬於 T_xM。

微分形式的拉回有兩個性質，使其非常有用。

1. 和楔積相容：假設同上，對 N 上的微分形式 α 與 β，

\varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .

2. 和外導數 d 相容：如果 α 是 N 上一個微分形式，則

\varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .

由微分同胚拉回

當流形之間的映射 φ 是微分同胚，即有一個光滑逆函數，則在向量場上也像 1-形式一樣定義拉回，從而通過擴張，對流形上任何混合張量場都可拉回。線性映射

\Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)

可逆，給出

\Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).

一個一般的混合型張量場通過張量積分解為 TN 與 T^*N 兩部分，分別用 Φ 與 Φ^-1 變換。當 M = N 時，則拉回和前推刻畫了流形 M 上張量場的變換性質。用傳統術語說，拉回描述了張量共變指標的變換性質；相對地，反變指標的變換性質由前推給出。

由自同構拉回

上一節的構造有一個代表性特例，若 φ 是流形 M 到自己的微分同胚。在這種情況下，導數 dφ 是 GL(TM,φ^*TM) 的一個截面。這樣便在通過一個一般線性群 GL(m) (m = dim M) 相配於 M 的標架叢 GL(M) 的任何叢的截面上導出了拉回作用。

拉回與李導數

將上述想法應用到由向量場 M 定義的微分同胚單參數群，對參數求導，得到了任意叢上的李導數概念。

聯絡（共變導數）

如果 $\nabla$ 是 N 上向量叢 E 的聯絡（或共變導數），φ 是從 M 到 N 的光滑映射，那麼在 M 上的向量叢 φ^*E 上有拉回聯絡 $\varphi ^{*}\nabla$ ，由等式

(\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)

惟一確定。

另見

參考文獻

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.