拉普拉斯分布

在機率論與統計學中，拉普拉斯分布 (Laplace distribution) 是以皮耶-西蒙·拉普拉斯的名字命名的一種連續機率分布。由於它可看作兩平移指數分布背靠背拼接在一起，因此又稱雙指數分布 (Double exponential distribution)。兩個相互獨立同機率分布指數隨機變數之間的差別是按照指數分布的隨機時間布朗運動，所以它遵循拉普拉斯分布。

機率分布、機率密度以及分位數函數

如果隨機變數的機率密度函數分布為

f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!

={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.

那麼它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是位置母數，b > 0 是比例母數。如果 μ = 0，b=1, 那麼，正半部分恰好是1/2倍 λ = 1的指數分布。

拉普拉斯分布的機率密度函數讓我們聯想到常態分布，但是，常態分布是用相對於 μ 平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯機率密度用相對於平均值的差的絕對值來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比常態分布更加平坦。

根據絕對值函數，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那麼很容易對拉普拉斯分布進行積分。它的累積分布函數為：

$F(x)\,$	$=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u$
	$=\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.$
	$=0.5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-\|x-\mu \|/b))]$

逆累積分布函數為

F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|)

已知區間 (-1/2, 1/2] 中均勻分布上的隨機變數 U，隨機變數

X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)

為母數 μ 與 b 的拉普拉斯分布。根據上面的逆累計分布函數可以得到這樣的結果。

當兩個相互獨立同分布指數(1/b)變化的時候也可以得到 Laplace(0, b) 變量。同樣，當兩個相互獨立同分布一致變量的比值變化的時候也可以得到 Laplace(0, 1) 變量。

給定N個獨立同分布的樣本 $x_{1},x_{2},...,x_{N}$ ， $\mu$ 的極大概似估計 ${\hat {\mu }}$ 為樣本的中位數， $b$ 的極大概似估計 ${\hat {b}}$ 為樣本與樣本中位數 ${\hat {\mu }}$ 的平均絕對偏差，即

${\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left\vert x_{i}-{\hat {\mu }}\right\vert$

（揭示了拉普拉斯分布和最小絕對偏差（LAD）之間的聯繫）。

在迴歸分析中，如果誤差具有拉普拉斯分布，則最小絕對偏差估計（LADE）將作為最大概似估計（MLE）出現。

拉普拉斯分布
機率密度函數
累積分布函數
母數	$\mu \,$ 位置母數（實數） $b>0\,$ 比例母數（實數）
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\,$
機率密度函數	${\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {\|x-\mu \|}{b}}\right)\,$
累積分布函數	參見正文部分
期望值	$\mu \,$
中位數	$\mu \,$
眾數	$\mu \,$
變異數	$2\,b^{2}$
偏度	$0\,$
峰度	$3\,$
熵	$1+\ln(2\,b)$
動差母函數	${\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!$ for $\|t\|<1/b\,$
特徵函數	${\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!$