斯科倫悖論

在數理邏輯中，特別是集合論中，Skolem 悖論是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接結果，它聲稱所有一階語言的句子的模型都有一個初等等價的可數子模型。

這個悖論見於Zermelo-Fraenkel 集合論中。康托爾在 1874年發表的更早的結果是，存在不可數集合比如自然數的冪集，實數的集合，和著名的康托爾集。這些集合存在於任何 Zermelo-Fraenkel 全集中，因為它們的存在可從公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理，我們可以得到只包含可數個對象的集合論的模型。但是，它必須包含上述提及到的不可數集合，這似乎是個矛盾。但是正在討論的這些集合是不可數的，只是在模型內不存在從自然數到這些集合的雙射(注意到雙射函數也是集合，也就是一種特殊的關係)。而模型外的確有這樣的雙射。

是悖論嗎？

這個悖論被多數邏輯學家看作困惑人的東西，而不是邏輯矛盾的意義上的悖論（就是說是巴拿赫-塔斯基悖論意義上而非羅素悖論意義上的悖論）。Timothy Bays 詳細論爭說在 Löwenheim-Skolem定理或者這個定理周邊中，都沒有自相矛盾的內容。

但是某些哲學家，例如希拉蕊·懷特哈爾·普特南和牛津哲學家 A. W. Moore（英語：A. W. Moore (philosopher)），認為它在某種意義上是個悖論。

困難位於在這個定理之下的「相對主義」觀念。Skolem 說：

在公理化中"集合"不意味著任意定義的搜集；集合只是通過公理所表達的特定關係而相互連接的對象。所以如果域 B 的集合 M 在公理化意義上是不可數的，則根本沒有矛盾；這只是表示在 B 內不存在 M 到 Z0（Zermelo 數序列）的一一映射。雖然如此，依然有可能透過正整數，數出在域 B 內的所有對象，也因此包括了 M 的元素；當然這種枚舉也是特定的對的搜集，但是這個搜集不是"集合"（就是說它不出現在域 B 中）。

Moore（1985）爭論說如果這種相對主義完全可以理解，它必須在把它定為直接了當的錯誤的框架內來理解。它是 Skolem 的悖論。

如果 Skolem 的解釋為真，可數和不可數這樣的想法本質上是相對的。我們相信自然數的冪集 P(w) 為不可數的是正確的，但必須理解為相對於我們當前的「視點」。從其他視點這個集合可能實際上是可數的。但是應當有可能使這種相對性變得明確。我們可以這麼做，只要我們的關於集合的論域被理解為對於它這種斷言必須被相對化的對象的特定搜集。但這是不可能的，除非我們認可有一個集合包含所有我們想要談論的集合的這個「錯誤」。

「在斷言 P(w) 是無條件不可數的時候，我們無法理解這個除非作為確然假的斷言，它根本不是不可數的。」

我們不能從同時從兩個不同的視點看 P(w)；這將是不一致的。我們也不能簡單的從「這個」視點來看，那麼假想的相對性是不可理解的。「但是如果有可能從絕對視點看它，那麼相對主義自身將失去它的根據，而且它不能拒絕聲稱 P(w) 包含所有 w 的子集以及它是無條件不可數的。」

引證

Zermelo 起初聲明 Skolem 悖論是惡作劇。在 1937 年他寫了一個標題為《在集合論和所謂的 Skolem 定理中的相對主義》的評論，在其中他反駁了 Skolem 悖論，即事實上 Zermelo-Fraenkel 集合論 -- 保證存在不可數多個集合 -- 卻有可數的模型。其他在集合論方面的權威也發現這個結果駭人聽聞。

現時我們什麼也做不了，除了又記下一個對集合論存疑的理由。目前也不知道使這個理論康復的方法。（馮·諾伊曼）^[1]

Skolem 的工作意味著，所謂「集合論（因此包含了幾何、算術，和其他使用集合論模型的理論）的絕對公理化」，似乎根本就不存在。（馮·諾伊曼）^[2]

關於悖論的書卷仍未合上，而關於它的意義和可能的解決方案，亦未達成一致意見。（Abraham Fraenkel）^[3]

我相信，這套集合公理不是令人滿意的終極數學基礎是很顯然的，而數學家大多對此不是很在意。但近來我驚奇的發現，如此多的數學家將這套集合論公理視為數學理想的基礎；所以我覺得是時候作出批評了。（Skolem）^[4]

註釋

^ 原文：At present we can do no more than note that we have one more reason here to entertain reservations about set theory and that for the time being no way of rehabilitating this theory is known.
^ 原文：Skolem's work implies "no categorical axiomatisation of set theory (hence geometry, arithmetic [and any other theory with a set-theoretic model]...) seems to exist at all".
^ 原文：Neither have the books yet been closed on the antinomy, nor has agreement on its significance and possible solution yet been reached.
^ 原文:「… glaubte ich, dass es so klar sei, dass diese Mengenaxiomatik keine befriedigende letzte Grundlage der Mathematik wäre, dass die Mathematiker größtenteils sich nicht so sehr darum kümmern würden. In der letzten Zeit habe ich aber zu meinem Erstauenen gesehen, dass sehr viele Mathematiker diese Axiome der Mengenlehre als ideale Begründung der Mathematik betrachten;deshalb schien mir die Zeit gekommen, eine Kritik zu publizieren …」 , Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1923 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

引用

van Dalen, Dirk and Heinz-Dieter Ebbinghaus, "Zermelo and the Skolem Paradox", The Bulletin of Symbolic Logic Volume 6, Number 2, June 2000.
Moore, A.W. "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45.

外部連結

[1] 原文：At present we can do no more than note that we have one more reason here to entertain reservations about set theory and that for the time being no way of rehabilitating this theory is known.

[2] 原文：Skolem's work implies "no categorical axiomatisation of set theory (hence geometry, arithmetic [and any other theory with a set-theoretic model]...) seems to exist at all".

[3] 原文：Neither have the books yet been closed on the antinomy, nor has agreement on its significance and possible solution yet been reached.

[4] 原文:「… glaubte ich, dass es so klar sei, dass diese Mengenaxiomatik keine befriedigende letzte Grundlage der Mathematik wäre, dass die Mathematiker größtenteils sich nicht so sehr darum kümmern würden. In der letzten Zeit habe ich aber zu meinem Erstauenen gesehen, dass sehr viele Mathematiker diese Axiome der Mengenlehre als ideale Begründung der Mathematik betrachten;deshalb schien mir die Zeit gekommen, eine Kritik zu publizieren …」 , Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1923 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

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