標準正交基

在線性代數中，一個內積空間的正交基（orthogonal basis）是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量。假若，一個正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基為標準正交基或"規範正交基"（Orthonormal basis）。

無論在有限維還是無限維空間中，正交基的概念都是很重要的。在無限維希爾伯特空間中，正交基不再是哈默爾基，也就是說不是每個元素都可以寫成有限個基中元素的線性組合。因此在無限維空間中，正交基應該被更嚴格地定義為由線性無關而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個稠密子空間（而不是整個空間）的集合。

注意，在沒有定義內積的空間中，「正交基」一詞是沒有意義的。因此，一個具有正交基的巴拿赫空間，就是一個希爾伯特空間。

例子

• 在歐幾里德空間$\mathbb {R} ^{3}$中，集合：{e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)}組成一個標準正交基。

• 由f_n(x) = exp（2πinx）定義的集合：

{f_n : n ∈ Z}組成在復勒貝格空間L²（[0,1]）上的一個標準正交基。

基本性質

B是H上的一個正交基，那麼H中的每個元素x都可以表示成：

$x=\sum _{b\in B}{\langle x,b\rangle \over \lVert b\rVert ^{2}}b$

當B是標準正交基時，就是：

$x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$

x的模長表示為：

$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}$.

即使B不是可數的，上面和式里的非零項也只會有可數多個，所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開，詳見傅立葉級數。

若B是H上的一個標準正交基，那麼H「同構」於序列空間l²（B）。因為存在以下H -> l²（B）的雙射Φ，使得對於所有H中的x和y有：

$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle$

正交基的存在性

運用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以證明每個希爾伯特空間都有基，並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基，就說這個空間是可分的。

哈默爾基

有前面的定義可以知道，在無窮維空間的情況下，正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分，把一般線性代數的定義下的基稱為哈默爾基。

在內積空間的實際應用中，哈默爾基甚少出現，因此提到「基」的概念時，一般指的是正交基。

參看

• 基 (線性代數)
• 正交
• 正交化
  • 格拉姆-施密特正交化
• 正交分解
• 正交矩陣
• 垂直