正交補餘

在線性代數和泛函分析的數學領域中，內積空間 V 的子空間 W 的正交補餘（英語：orthogonal complement） $W^{\bot }$ 是正交於 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,$

正交補餘總是閉合在度量拓撲下。在希爾伯特空間中，W 的正交補餘的正交補餘是 W 的閉包，就是說

$W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,$

如果 A 是 $m\times n$ 矩陣，而 ${\mbox{Row }}A$, ${\mbox{Col }}A$ 和 ${\mbox{Nul }}A$ 分別指稱列空間、行空間和零空間，則有

$(\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A$

和

$(\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}$

巴拿赫空間

在一般的巴拿赫空間中有自然的類似物。在這種情況下類似的定義 W 的正交補餘為 V 的對偶的子空間

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,$

它總是 $V^{*}$ 的閉合子空間。它也有類似的雙重補性質。$W^{\bot \,\bot }$ 現在是 ${V^{*}}^{*}$ 的子空間(它同一於 $V$)。但是自反空間有在 $V$ 和 ${{V^{*}}^{*}}$ 之間的自然同構 $i$。在這種情況下我們有

$i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.$

這是哈恩-巴拿赫定理的直接推論。