比

比（ratio）或比值，在數學上是一對孿生術語，比是兩個非零「數」或非零「同類量」之間的比較關係，另可用以表示部分占全體的相對關係；兩數或量前後或上下並置，分別稱為前項與後項，記作 $a:b$ ，讀作 a比b，如右圖之 4:3。

比值則強調比的數值，是由比的關係所導引出的前項除以後項的值，是兩者的倍數關係，進而引申為一個數或變量除以另一個數或變量的商值；由於是數或同類量相除，所以比值無單位^[1]。除了整數外，比值常用分數、小數、百分比來表示；小於 1的比值，又常被俗稱為比率，儘管漢語詞彙「比率」是一含糊概念，其另一方面可表示數學的率。

「比」可含糊地表示一個數或量 a 擁有另一個數或量 b 的多少倍，而 b 能除盡 a 幾次；「比值」則可清晰地顯示第一個數是第二個數的幾倍，為一明確正實數（不一定為整數）^[2]。在物理學上，不同效應的「比」，則常為重要參數或常數。但在英語中，「ratio」也意指「proportionality」（比例性）^[3]，容易混淆。

比與除法

比，依中國大陸義務教育課程及台灣國民中小學九年一貫課程，則定義為：兩個數相除。與除法不同的是其呈現兩個數或量的關係，而非像除法是一種運算。比，可以「分數」表示，也可以「比的形式」表示^[4]；前者記作 ${\frac {a}{b}}$ ，後者記作 $a:b$ ，均讀作 a比b。其中區隔前項和後項的數學符號「 $:$ 」稱作比號，比號前面的數稱為比的前項，比號後面的數稱為比的後項，比的後項不能為零。比的前項除以後項所得的商，稱為比值。比值相當於商，是一個數，可為整數、小數、分數；因此廣義的「比」，表示法可為「整數」、「小數」、「分數」、「百分比」、「比號」的形式。

舉例

舉例來說，若一碗水果中有八顆柳橙和六顆檸檬，則柳橙和檸檬的「比」是八比六（即 $8:6$ ，相當於 $4:3$ 的比），「比值」是 1.3333...。反過來說，檸檬與柳橙的比為 $3:4$ 。此外，柳橙與所有水果之比為 $4:7$ （相當於 $8:14$ ）。比 $4:7$ ，亦可轉化為分數 ${\frac {4}{7}}$ ，表示柳橙與所有水果的比，意即有多少水果是柳橙。

單位

「比」在通常情況下，會將「兩個用相同的單位測量的量」相比，它們的比值（商）是無量綱數。若兩個量是用不同單位測量時，此比值（商）應被稱為「率」 ^[5]。

基準量與比較量

兩個非零「同類量」做比較時，置於後項而當作1的量稱為基準量，置於前項被比較的量稱為比較量；比較量除以基準量所得的商，就是比值（比的數值）。表示比較量與基準量的關係，可以用比值（商）或比（具有前項、比號、後項）兩種方式。

與比例的區別

「比例」則是「兩個比」相等的式子，表示同類型的「兩個比之間」的關係^[6]（例如，物件，人，學生，或任何相同單位的數值）；因此，比值相等的兩個比才能組成比例。組成比例的四個數，稱為比例的項；等式最兩端的兩項稱為外項，等式中央的兩項稱為內項。與比不同的是：比由兩個數組成；比例由四個數組成。

與率的區別

近代以英語主導科學定義下的「ratio」（比）和「rate」（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念；但是漢語的「比」和「率」，由於漫長的歷史因素並未以科學精確區分，偶有混用，造成了有時不符合定義的稱呼；例如稱作「率」的圓周率、斜率、分率、打擊率，嚴謹來說，是一種「比」^[7]。另一漢語詞彙比率，在使用上更為含糊，一方面可表示率，另一方面也用來代表兩個數量的比或比值，這是比的值。

參考

^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始內容存檔於2021-03-29）（中文）.
^ Penny Cyclopedia, p. 307
^ 存档副本. [2022-03-30]. （原始內容存檔於2022-05-03）.
^ New International Encyclopedia
^ "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Wentworth, p. 55
^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始內容存檔於2021-03-30）（中文）.

擴展閱讀

"Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
"Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
"Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始內容存檔於2020-08-03）.
D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

Khan Academy: Ratios and rational expressions, free online micro lectures （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

[1] 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始內容存檔於2021-03-29）（中文）.

[2] Penny Cyclopedia, p. 307

[3] 存档副本. [2022-03-30]. （原始內容存檔於2022-05-03）.

[4] New International Encyclopedia

[5] "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[6] Wentworth, p. 55

[7] 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始內容存檔於2021-03-30）（中文）.

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