法諾不等式

法諾不等式（Fano's inequality）也稱為法諾引理（Fano lemma）是資訊理論中的一個定理，說明噪音信道中的平均信息損失和錯誤分類概率之間的關係。法諾不等式是羅伯特·法諾是1950年代於麻省理工學院教授博士討論班的時候推導的，後來放在1961年編寫的教科書中。

法諾不等式在資訊理論中，提供了解碼器錯誤概率的下界。在統計學中，提供了密度估計時極小化極大風險的下界。

用符號 $H(\cdot )$表示熵， $H(X|Y)$ 表示隨機變量X與Y之間的條件熵，${\tilde {X}}$表示對於X的分類，e表示分類錯誤的事件（$e=\{X\neq {\tilde {X}}\}$），法諾不等式是說

$H(X|Y)\leq H(e)+P(e)\log(|{\text{supp}}(X)|-1)$

這裡 ${\text{supp}}(X)$ 是X可能取值（有限個）的集合。

參考資料

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