波斯尼科夫塔

代數拓撲同倫論中,波斯尼科夫塔Postnikov Tower或稱:波斯尼科夫系統)是關於CW複形在同倫意義下進行分解的一種方法。形象地說,給定一個連通的CW複形可以分解成一系列CW複形的逼近,使得每一個複形都是它前面一個複形和一個Eilenberg-McLane空間(Eilenberg-McLance space)的纖維叢乘積。

具體地說,我們有如下定理:

定理: 任給一個連通的CW複形,記其同倫群。對於每一個自然數,存在一組的纖維叢,其纖維(fiber)為,和CW映射,使得

  1. 如下圖表可交換:
  2. 誘導了階數小於等於的同倫群的同構。

在上面的定理中,為Eilenber-McLance空間,即同倫群為,其餘為0的CW複形。我們稱上面的纖維叢序列為Postnikov塔,並且有

構造

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上述定理的證明過程實際上就是波斯尼科夫塔的構造過程。我們從構造 開始:實際上,對於 ,我們不停地往其上貼維數大於 的胞腔使得 的大於 階的同倫群都變得平凡,記之為 ,則我們有

 

按照同樣的方法,我們可以構造 ,並且有

 

代數拓撲裡面的一個定理說,每一個包含映射實際上都可以看成一個纖維叢,那麼把上面這一串包含映射轉換成纖維叢的語言,就得到Postnikov塔,並且可以證明每個纖維都是一個Eilenberg-McLane空間 

應用

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如前所述,波斯尼科夫塔給出了CW複形的一種同倫意義下的分解。原則上,根據同倫正合列(homotopy exact sequence)或者塞爾譜序列我們可以根據一個CW複形的波斯尼科夫塔計算出該複形的同倫群和同調群

雖然如此,波斯尼科夫塔的應用要等到 D. Quillen,陳國才(K.-T. Chen)特別是 D. Sullivan的有理同倫論發展以後才能夠得到更加精妙的應用。

自1980年代以來,物理特別是量子場論的思想非常深刻地影響了數學的發展。物理學家所用的一些工具,以及思考問題的方法在同倫論中也有所反映。波斯尼科夫塔,有理同倫論,還有前後出現的Stasheff的同倫結合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的Operad英語Operad概念,等等,經過量子場論的重新考察,已經非常緊密地聯繫起來,成為代數拓撲裡面一個非常活躍的研究領域。

資料

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關於一般的代數拓撲的書,可以參考

  • R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此書在中國大陸有影印本,由世界圖書出版公司發行。

關於有理同倫論,特別是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的關係,可以參考

  • P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

關於代數拓撲跟量子場論的密切關係,可以參考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的論文。