在數學中，泰勒級數 （英語：Taylor series，Taylor expansion ）用無限項連加式——級數 來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數 求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式 的英國 數學家 布魯克·泰勒 （Sir Brook Taylor ）來命名的。通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做馬克勞林級數 （英語：Maclaurin series ） 科林·馬克勞林 （Colin Maclaurin ）的名字命名。
拉格朗日 在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理 估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式 。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限 （如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間（或複平面 上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數 。
在複平面 上餘弦函數的實數部分。 在複平面 上餘弦函數的第八度逼近 兩個以上的曲線放在一起 下面我們給出了幾個重要的馬克勞林級數。當變量
x
{\displaystyle x}
由無窮遞縮等比數列求和式:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
+
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
x
n
+
⋯
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots }
∀
x
:
|
x
|
<
1
,
∀
α
∈
C
{\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} }
二項式係數
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
以
e
{\displaystyle e}
指數函數 的馬克勞林級數是
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
+
x
n
n
!
+
⋯
∀
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x}
以
e
{\displaystyle e}
自然對數 的馬克勞林級數是
ln
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
=
−
x
−
x
2
2
−
x
3
3
−
⋯
−
x
n
n
−
⋯
∀
x
∈
[
−
1
,
1
)
{\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
+
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
+
⋯
∀
x
∈
(
−
1
,
1
]
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]}
常用的三角函數 可以被展開為以下的馬克勞林級數：
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
∀
x
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
∀
x
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
−
1
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
<
π
2
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
<
π
2
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
=
x
+
x
3
6
+
3
x
5
40
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
=
π
2
−
x
−
x
3
6
−
3
x
5
40
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
⋯
∀
x
:
|
x
|
≤
1
,
x
≠
±
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n-1)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}
在
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
k 是伯努利數 。在
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
E k 尤拉數 。
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
∀
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
∀
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
∀
x
:
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
sinh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}
tanh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x)}
B k 伯努利數 。
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
∀
x
:
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}}
泰勒級數可以推廣到有多個變量 的函數 ：
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
∂
n
1
+
⋯
+
n
d
∂
x
1
n
1
⋯
∂
x
d
n
d
f
(
a
1
,
⋯
,
a
d
)
n
1
!
⋯
n
d
!
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
{\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}
希臘哲學家芝諾 在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 - 芝諾悖論 。後來，亞里斯多德 對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特 以及後來的阿基米德 進行研究，此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法 才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。[ 2] 劉徽 也獨立提出了類似的方法。[ 3]
進入14世紀，馬德哈瓦 [ 4] 正弦 、餘弦 、正切 、和反正切 三角函數等等。之後，喀拉拉學派
到了17世紀，詹姆斯·格雷果里 同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干馬克勞林級數 。但是直到1715年，布魯克·泰勒 [ 5] 愛丁堡大學 的科林·馬克勞林 教授在18世紀發表的，並以其名字命名。
《自然哲學的數學原理 》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。 牛頓插值公式 也叫做牛頓級數 差分方程式 」的項組成，得名於伊薩克·牛頓 爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理 》中第三編「宇宙體系」的引理五[ 6] 詹姆斯·格雷果里 於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。
對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差 ，對x 值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分 ，前向差分的定義為：
Δ
h
1
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
Δ
h
n
[
f
]
(
x
)
=
Δ
h
n
−
1
[
f
]
(
x
+
h
)
−
Δ
h
n
−
1
[
f
]
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}}
牛頓前向差分插值公式為：
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
x
−
a
h
(
Δ
h
1
[
f
]
(
a
)
+
x
−
a
−
h
2
h
(
Δ
h
2
[
f
]
(
a
)
+
⋯
)
)
=
f
(
a
)
+
∑
k
=
1
n
Δ
h
k
[
f
]
(
a
)
k
!
h
k
∏
i
=
0
k
−
1
(
(
x
−
a
)
−
i
h
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}}
這成立於任何多項式 函數和大多數但非全部解析函數 。
牛頓 在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了
ln
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ln(1+x)}
無窮級數 ，在1666年得出了
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
萊布尼茨 在1673年大概也得出了
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
布魯克·泰勒 在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）》中研討了有限差分 方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理 ，這個成果此前詹姆斯·格雷果里 在1670年和萊布尼茨 在1673年已經得出，而約翰·伯努利 在1694年已經在《教師學報》發表。
他對牛頓的均差分的步長取趨於
0
{\displaystyle 0}
極限 ，得出：
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
lim
h
→
0
∑
k
=
1
∞
Δ
h
k
[
f
]
(
a
)
k
!
h
k
∏
i
=
0
k
−
1
(
(
x
−
a
)
−
i
h
)
=
f
(
a
)
+
∑
k
=
1
∞
d
k
d
x
k
f
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}
^ James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations . James Madison University. [2008-05-02 ] . （原始內容 存檔於2008-05-01） （英語） . ^ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . Oxford University Press. pp. 35-37
^ 吳文俊 《中國數學史大系》第三卷 367頁^ Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala . MAT 314. Canisius College. [2006-07-09 ] . （原始內容 存檔於2006-08-06）. ^ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
^ Newton, Isaac, (1687). Principia , Book III, Lemma V, Case 1
![{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104e722cf417e571c54aacbf396b67db68f37c4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n-1)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172be11560a9dd2f1ee55ff41c05aeda7d8088bf)
&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182eb620feea6d4abdae0152a63e63704e27a60e)
+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca5da52ed436bbe5a32d6b704075c05fbf54a99)
}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7a577bf6bea61297e0f365eedbb2921b7f28b7)