熱核

提示：此條目頁的主題不是熱核融合。

熱核（英語：heat kernel）在數學中是指熱方程的基本解。其也是拉普拉斯算子譜分析中的重要工具之一。對於固定邊界的區域，當邊界溫度給定、並於t = 0時在其中某一點放置一單位熱能時，熱核表示此後區域內溫度的變化過程。

一維熱方程的基本解（紅線）

最常見的熱核為d維歐幾里得空間R^d上的熱核。該熱核為隨時間變化的高斯函數，其表達式為

$K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}\,$

該熱核是熱方程

${\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,$

的解，其中t > 0，x,y ∈ R^d，Δ則表示拉普拉斯算子。方程的初始條件為

$\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)$

其中δ表示狄拉克δ函數。對任一緊支撐的光滑函數φ，有

$\lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).$

對於R^d上的一般區域，熱核並沒有顯式的表達式。當區域為圓盤或方形時，熱核則分別為貝索函數與雅可比Θ函數。可以證明，對任意黎曼流形，當邊界條件充分正則時，熱核存在且在t>0時光滑。

參考文獻

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle, Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004 
• Chavel, Isaac, Eigenvalues in Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics 115, Boston, MA: Academic Press, 1984, ISBN 978-0-12-170640-1, MR 0768584 .
• Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0-8218-0772-9 
• Gilkey, Peter B., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem, 1994 [2018-04-05], ISBN 978-0-8493-7874-4, （原始內容存檔於2019-12-29） 
• Grigor'yan, Alexander, Heat kernel and analysis on manifolds, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 47, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2009 [2018-04-05], ISBN 978-0-8218-4935-4, MR 2569498, （原始內容存檔於2019-06-09） 
• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu, Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel, Comm. Math. Phys., 2000, 209: 633–670, Bibcode:2000CMaPh.209..633K, doi:10.1007/s002200050033